31

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

В.Н.РОСТОВЦЕВ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

РАЗДЕЛ : “ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ”

ТУЛА 2000

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры математического анализа.

Протокол № “ ” 2000 год

Зав.кафедрой математического анализа И.К.Архипов

ЛЕКЦИЯ №

Введение в математический анализ

План

1. Введение.

2. Множества. Множества вещественных чисел.

3. Числовые последовательности.

4. Предел последовательности.

4.1. Геометрическая интерпретация определения предела последовательности.

4.2. Свойства пределов (основные теоремы о пределах).

4.3. Бесконечный предел последовательности.

4.4. Бесконечно малые.

5. Монотонные последовательности.

6. Число е. Натуральные логарифмы.

7. Заключение.

1. Введение.

Те разделы математики, которые изучают в школе, обычно называют “элементарной математикой”. Разделение математики на “высшую” и “элементарную” весьма условно. Разделы математики, которые относят к элементарной, возникли и существуют уже очень давно. Создание элементарной геометрии связано с именами греческих ученых Пифагора (500 лет до н.э.) и Евклида (300 лет до н.э.). Позднее (IX в. н.э.) как самостоятельный раздел математики оформилась алгебра. Ее основы изложил в трактате “Китаб аль-джерб валь-мукабала” узбекский ученый Муххамед Аль-Хорезми. Возникновение тригонометрии, связанное с астрономическими исследованиями, также относится к античной древности.

Разделы математики, которые принято называть “Высшая математика”, развились из учений, возникших в XVII и XVIII веках. Математический анализ основывается на тесной связи алгебраических и геометрических методов, впервые появившейся в аналитической геометрии, созданной французским математиком и философом Р.Декартом (1596-1650 г.г.).

Характерные задачи, решавшиеся математиками до XVII в., связаны с постоянными величинами (например, решение алгебраических уравнений). В связи с прогрессом естествознания и техники, возникновением математического естествознания (физики, механики) стало необходимым изучение движения и процессов, т.е. переменных величин, функций и действий с ними. Это поставило перед элементарной математикой задачи, превосходящие ее возможности.

2. Множества. Множества вещественных чисел.

В окружающей нас реальной действительности мы наблюдаем как отдельные предметы (дерево, автомобиль, парта), так и их совокупности (множество деревьев в лесу, множество книг). Наряду с множествами предметов, взятых непосредственно из окружающей реальной действительности, можно представить множества более абстрактного содержания: множество определенным образом подобранных чисел, множество векторов, множество функций определенного вида и т. п.

Множество есть определенная совокупность каких-либо объектов. Множества обозначают A, B, M, …

Множество считается заданным, если известны те элементы из которых оно состоит. Элементы множества обозначают: a, в, c, …

Множество задается путем указания закона или правила, согласно которому можно определить элементы множества.

Примеры:

а) множество целых чисел, сумма цифр каждого из которых делится на 7;

б) множество правильных дробей , где n - натуральное число;

в) множество прямых на плоскости.

Если хотят показать, что множество P состоит из элементов определенного вида x, то пишут P = {x}. Если некоторый элемент y принадлежит множеству P, то это записывают y  P, в противном случае y  P (или ).

Если все элементы множества A принадлежат множеству B, то говорят, что A содержится в B: A  B или B  A. В этом случае множество A называется подмножеством множества B.

Множество называют конечным, если количество его элементов может быть выражено некоторым числом. В противном случае множество называется бесконечным.

К числу множеств относят множество не содержащее ни одного элемента. Такое множество называется пустым: 0 или  .

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Простейшим числовым множеством является множество натуральных чисел: 1, 2, , n,  .

Натуральные числа или, что то же, целые положительные числа, целые отрицательные числа и число 0 образуют множество целых чисел.

Дальнейшим расширением множества целых чисел является множество рациональных чисел. Рациональным числом называется частное двух целых чисел при условии, что делитель отличен от нуля.

Каждое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной или бесконечной десятичной периодической дроби.

Например: ; .

Иррациональные числа записываются бесконечными непериодическими десятичными дробями .

Рациональные и иррациональные числа, взятые вместе, образуют множество действительных (вещественных) чисел.

Дальнейшим расширением множества вещественных чисел является множество комплексных чисел. (В дальнейшем будут рассматриваться множества, состоящие только из действительных чисел).

Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Между точками числовой оси и действительными числами существует взаимно-однозначное соответствие.

Примеры:

1) отрезок a, в;

2) интервал (а, в);

3) интервал (–, );

4) окрестность точки а (интервал (а – , а + ), где   0 длины 2 с центром в точке a называется  - окрестностью точки a).

Условие принадлежности x к  - окрестности точки a можно записать: |x – a| < .

Используя понятия множества, можно дать определение функции.

Определение. Переменная y называется функцией от другой переменной x, если каждому значению x из некоторого множества по определению правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной у.

Обозначают: у  x, у  x, у  уx) и.т.д.

Переменная х называется независимой переменной или аргументом, а переменная у -зависимой переменной, или функцией.

Множество значений, принимаемых переменной х, называется областью определения функции, а множество значений, принимаемых переменной у, называется областью изменения функции.

Функция может быть задана таблично, графически, аналитически, словесно и т.д.