Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.
П.1 Монотонные функции.
ОПР. Функция
:
называется возрастающей на множестве
E
, обозначение
,
если
.
ОПР. Функция
:
называется строго возрастающей на
множестве E
, обозначение
,
если
.
ОПР. Функция
:
называется убывающей на множестве E
, обозначение
,
если
.
ОПР. Функция
:
называется строго убывающей на множестве
E
, обозначение
,
если
.
ТЕОРЕМА 1. Если
на
,
то существует
и
,
где
- множество значений функции
на
.
ДОК. (1) Пусть
=
+
.
Тогда
.
Выберем
.Тогда
и поэтому
,
т.е.
.
(2) Пусть
=В
.
Тогда
.
Выберем
.
Тогда
и поэтому
,
т.е.
.
(3) Пусть
=
-
. Тогда
.
Выберем
.Тогда
и поэтому
,
т.е.
.
(4) Пусть
=
А . Тогда
.
Выберем
,
тогда
и
поэтому
,т.е.
.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если
на
,
то для любого
существуют
и
.
ТЕОРЕМА 2 . Если
на
,
то существует
и
,
где
- множество значений функции
на
.
ДОК. Достаточно
применить теорему 1 для функции
.
СЛЕДСТВИЕ 2. Если на , то для любого существуют и .
ТЕОРЕМА 3.( о существовании обратной функции)
Если
(или
)
непрерывная функция на [a;b],
то существует и единственная обратная
к ней функция
,
определенная на отрезке
и непрерывная, строго возрастающая (
или убывающая ) на этом отрезке.
ДОК. Пусть
и непрерывна на [a;b].
Тогда
и для любого
существует и единственное значение
,
для которого
.
Действительно, если таких значений два
и
,
например
,
то
.
Положим
.
Тогда
на
,
т.е.
обратная
к
функция.
Докажем ее непрерывность на
.
Пусть
произвольная точка интервала
и
.
Тогда для любого
существует
такое, что
выполняется неравенство
.
Строгое возрастание функции
следует
из неравенств :
.
Непрерывность
функции
в граничных точках
и
следует из теоремы 1 :
,
П.2. Производная функции в точке.
ОПР.
.
Производной функции
в точке
,
называют число
.
ПРИМЕР 1 Вычислить производную функции в произвольной точке x .
РЕШЕНИЕ.
.
МЕХАНИЧЕСКИЙ смысл производной.
- путь, пройденный
материальной точкой к моменту времени
t
,
- расстояние, пройденное точкой за время
,
- средняя скорость движения,
- скорость в момент
времени t
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл производной.
Точки
и
на графике функции
соединены прямой Lсек
– секущей,
-
угловой коэффициент
прямой Lсек
.
При
прямая Lсек
поворачивается вокруг точки А, занимая
предельное положение - - касательной к
графику функции в точке А.
- угловой коэффициент
( тангенс угла наклона ) касательной.
Производная функции
в точке x
равна тангенсу угла наклона касательной,
проведенной к графику функции в точке
с абсциссой x
.
ТЕОРЕМА 4 ( о непрерывности дифференцируемой функции)
Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.
ДОК.
.
Тогда
,
где
- бесконечно малая функция в точке
.,
т.е.
.
ПРИМЕР 2 . Функция
непрерывна в точке
,
но не имеет производной в этой точке.
РЕШЕНИЕ.
- бесконечно малая функция в точке
,
т.е.функция
непрерывна в точке
.Функция
не имеет предела в точке
,
поскольку
,
и пределы справа и слева не совпадают.
ТЕОРЕМА 5. (арифметическая теорема о производных)
Если функции и имеют производную в точке , то
(1)
(2)
(3)
, при
.
ДОК. (2)
,
т.к. функция непрерывна в точке (теорема 4).
(3)
,
поскольку при
функция
непрерывна в точке
(теорема 4).
(1) доказать самостоятельно.
УПРАЖНЕНИЯ.
1) Докажите
непосредственно, что
.
2) Найдите функцию
обратную к функции
на
.
3) Функция
.
Найдите производную функции в точке
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Монотонные функции. Теорема о существовании предела монотонной функции.
2) Теорема о существовании и непрерывности обратной
функции.
3) Понятие производной функции, ее механический и геометрический смысл. Примеры.
4) Теорема о непрерывности функции, имеющей производную.
5) Арифметическая теорема о производных.