Лекция 6. Предел функции 2.

П1. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

.

ДОК. (см. рис) Для всех справедливы неравенства : ( - длина дуги АВ₁ , а - длина дуги катета АВ) и .

Функция б.м.ф. в точке и поэтому, на основании теоремы о промежуточной функции, также б.м.ф.Тогда из теоремы о связи .

Площадь  ОАВ , площадь сектора АОВ₁ , площадь ОА₁В_{1 .}Справедливо неравенство : площадь  ОАВ< площадь сектора ОАВ< площадь ОА₁В₁

  .

По доказанному , поэтому на основании теорем о промежуточной функции и арифметической теореме о пределах .

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. .

П.2 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ.

.

ДОК. (1) Пусть произвольная последовательность, ,для которой .

Тогда и для каждого n найдутся натуральные числа или . Справедливо неравенство

.

Последовательности и сходятся к числу e , поэтому на основании теоремы о промежуточной последовательности по Гейне, а значит и по Коши.

(2) Пусть - произвольная последовательность, , для которой .Обозначим . Тогда

.

Обозначим .Тогда и . Из доказанного в (1) следует, что .

СЛЕДСТВИЯ (1) .

ДОК.

(2) .

ДОК. Замена .

.

П 3. Сравнение функций.

ОПР. ( О – большое ) Рассматриваются функции . Говорят, что функция есть

О-большое от функции в окрестности точки ,

обозначение , если

.

ПРИМЕР. в окрестности точки . РЕШЕНИЕ. .

Если в окрестности , то условие равносильно ограниченности функции в окрестности точки . Последнее выполняется, например, если существует .

ОПР. ( о – маленькое )

Функция есть о-малое от функции в окрестности точки , обозначение , если .

о(1) – бесконечно малая функция  .

ПРИМЕР. Алгебра о- малых.( в точке x = 0 )

(1) (2) (3) , где - б.м.ф. (4)

РЕШЕНИЕ. (1)

(2) .

(3)  , б.м.ф.

(4)   .

ОПР. Бесконечно малые в точке функции и называются эквивалентными, если .

Обозначение   . Отношение эквивалентности транзитивно:   ,  , то  и симметрично:     .

ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ в точке x = 0 .

(1)  

(2)   , (3)   , 4)   ,

(5)   , 6)   , (7)   ,

(7)   ,(8)   , (9)  

ДОК. Формулы (1)- (3), (6), (8) уже обсуждались, (7) и (9) получаются из них переходом к основанию e , сделав замену и , (5) – аналогично, (10)   .

ТЕОРЕМА 1 ( о замене бесконечно малой на эквивалентную)

Если бесконечно малые функции   ,   в точке , и существует , то .

ДОК. .

ТЕОРЕМА 2. (о связи эквивалентных бесконечно малых)

Если две бесконечно малые функции и эквивалентны в точке , то . Если бесконечно малые функции и связаны соотношением

,то они эквивалентны.

ДОК.(1)

(2) .

П 4. Пределы на бесконечности. Односторонние пределы.

ОПР. Функция имеет предел на бесконечности, обозначение , если

.

ОПР. Функция имеет предел в точке справа , обозначение , если

.

ОПР. Функция имеет предел в точке слева, обозначение , если .

ОПР. Функция имеет предел на , обозначение , если .

ОПР. Функция имеет предел на , обозначение , если .

УПРАЖНЕНИЯ 1) Сформулируйте понятие .

2) Сформулируйте понятие .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Первый замечательный предел.

2) Второй замечательный предел и его следствия.

3) Понятия и . Примеры.

4) Эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых функций (с доказательством).

5) Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную.

6) Теорема о связи эквивалентных бесконечно малых функций.