Лекция 5. Предел функции.
Рассмотрим функцию
и точку
такую, что
.
В частности, точка
может быть внутренней точкой для E
:
.
ОПР.(КОШИ) Число А
называется пределом функции
в точке
,
обозначение
,
если
.
ОПР.(ГЕЙНЕ) Число
А называется пределом функции
в точке
,
обозначение
,
если
Множество V
на числовой оси называется открытым,
если
.
Любое открытое множество V(a),
содержащее точку
a
, называют
окрестностью точки a
.
ОПР.(ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ) Число А называется пределом функции в точке , обозначение , если
.
ТЕОРЕМА 1 Определения по Гейне и по Коши предела функции в точке эквивалентны, т.е. если число А является пределом функции по Коши, то оно же является пределом по Гейне и
наоборот.
ДОК. (1) Пусть
по Коши :
.
Пусть
произвольная последовательность, для
которой
.Тогда
,
т.е.
.
(2) Пусть по Гейне.
Предположим, что
число А не является пределом функции
по Коши. Тогда
.
Построенная
последовательность
сходящаяся
и
.
Тогда
.
Полученное противоречие доказывает,
что число А является пределом функции
по Коши.
ОПР. Функция
называется ограниченной в окрестности
,
если существует число М, для которого
.
ТЕОРЕМА 2. Если функция имеет предел в точке, то она ограничена в окрестности этой точке.
ДОК. Из определения
предела, следует для
существует
такая, что
.
ТЕОРЕМА 3.(о единственности предела)
Если функция имеет предел в точке , то он только один.
ДОК. Предположим
противное: Числа А и В являются пределами
функции, причем
.
Выберем
,
тогда существует окрестность
,
для которой
.
Тогда
,
что противоречит выбору числа
.
ТЕОРЕМА 4. (о переходе к пределу в неравенстве)
Пусть функции
и
имеют пределы
А и В в точке
и
,
для всех
.
Тогда
.
ДОК. Предположим
противное:
.
Выберем
.
Тогда существует окрестность
,
для которой
,
что противоречит условию теоремы.
ТЕОРЕМА 5 (о знаке функции в окрестности точки)
Если
,
то существует
для которой
.
ДОК. Выберем любое
.
Тогда по определению предела, найдется
,
для которой
.
ТЕОРЕМА 6. (о промежуточной функции)
Пусть для трех
функций, определенных в
,
справедливо неравенство: 1)
и 2)
.
Тогда
.
ДОК.
т.е.
.
ОПР. Функция
,
определенная в окрестности
,
удовлетворяет критерию Коши , если
.
ТЕОРЕМА 7 . Для того, чтобы функция , определенная в окрестности , имела предел в точке a , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши в окрестности точки a .
ДОК. (1) Пусть
.
Тогда
и
(2) Пусть функция
удовлетворяет критерию Коши и
- произвольная последовательность,
,
для которой
.
Тогда
и последовательность
- фундаментальная. По доказанному, ( для
последовательностей) существует число
А, для которого
.
Пусть
другая последовательность, для которой
.Тогда
последовательность
также фундаментальная и поэтому
сходящаяся. Пусть
.
Если
,
то последовательность
также
сходящаяся :
,
но последовательность
не может быть сходящейся ( у нее по
крайней мере два частичных предела А и
В), хотя она фундаментальна. Источником
полученного противоречия явилось
предположение о том, что
,
поэтому А=В и функция имеет предел по
Гейне, равный А.
ОПР. Функция
называется бесконечно малой функцией
в точке a
, если
.
ОПР. Функция называется бесконечно большой функцией в точке a , если
.
ТЕОРЕМА 8. (о связи функции, имеющей предел, и бесконечно малой функцией)
Для того, чтобы
функция
имела предел в точке a
равный А,
необходимо и достаточно, чтобы имело
место представление :
,
где
-
бесконечно малая функция в точке a
.
ДОК. (1) Если
,
то функция
б.м.ф. Действительно,
(2)
.
ТЕОРЕМА 9. (о связи между бесконечно большой и малой функциями)
Если
бесконечно большая функция в точке a
, то функция
- бесконечно малая в этой точке. Если
функция
- бесконечно малая функция в точке a
и
то функция
- бесконечно большая в этой точке.
ДОК. (1)
(2)
.
ТЕОРЕМА 10 (арифметические теорема о бесконечно малых)
Если
и
- бесконечно малые функции в точке a
, то
+
- также б.м. Если
- ограниченная в окрестности точки a
функция, то
- б.м.ф.
ДОК. (самостоятельно)
ТЕОРЕМА 11. (арифметическая теорема о пределах)
Если
,
,
то
(1)
(2)
(3)
.
ДОК. (2) По теореме
о связи
,
,
где функции
и
- бесконечно малые функции. Тогда
,
где
бесконечно малая функция (теоремы 1 и
теорема 10).
(1) и (3) самостоятельно или со ссылкой на соответствующую теорему для последовательностей.
УПРАЖНЕНИЯ. 1) Верно ли утверждение : произведение б.м.ф. на б.б.ф. есть ограниченная функция? 2) Может ли функция в одной точке быть б.м., а в другой – б.б.ф? 3) Всегда ли сумма двух бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией?
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1) Определение предела функции по КОШИ и ГЕЙНЕ и их эквивалентность.
2) Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
3) Теорема об единственности предела функции.
4) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
5) Теорема о промежуточной функции.
6) Критерий Коши для функции в окрестности точки. Теорема об эквивалентности критерия существованию предела у функции .
7) Бесконечно малые функции, теорема о связи функций, имеющих предел, и бесконечно малых функций.
8) Бесконечно большие функции, теорема об их связи с бесконечно малыми функциями.
9) Арифметическая теорема о пределах функций.