Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.

ОПР. Последовательностью называют числовую функцию, заданную на множестве N натуральных чисел.

.

Последовательность может задаваться явно, например,

(1) (2) (3) (4)

и рекуррентно, например, (5) (ариф. прогр.)

(6) (геом. прогр.) (7) .

ОПР.Последовательность ограничена (сверху, снизу), если этим свойством обладает множество ее значений.

ОПР. Последовательность монотонно возрастает (убывает), если ( ) для любого n. Если неравенства строгие, говорят о строгом возрастании (убывании) последовательности.

В примерах (1) монотонно возрастающая, ограниченная последовательность. (2) ограниченная, не монотонная последовательность. (3) монотонно возрастающая, неограниченная последовательность (4) неограниченная, не монотонная последовательность.(5) неограниченная, монотонно убывающая при d<0, монотонно возрастающая при d>0.(6) ограниченная при , неограниченная при ,монотонная при , не монотонная при .

ОПР. Окрестностью точки х₀ радиуса >0 называют множество

ОПР. Множество называют выколотой окрестностью точки х₀.

ОПР. Число В называют предельной точкой (частичным пределом) последовательности , если окрестность

содержит бесконечное число членов последовательности .

В примерах (1) число В=3 является единственной предельной точкой последовательности. (2) числа являются предельными точками последовательности. (3), (4), (5) предельных точек не имеют (6) число В=0 предельная точка при , при предельных точек нет.

ОПР. Число А называется пределом , если А – предельная точка и вне любой окрестности содержится не более конечного числа членов последовательности , или

.

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.

В примерах (1) имеет предел А=3.(2), (3), (4), (5) – предела не имеют.(6) имеет предел А=0 при , не имеет предела при .

ТЕОРЕМА1. Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

ДОК. Из ограниченности последовательности следует существование отрезка [c₁;b₁], для которого . Разделим отрезок пополам и выберем ту половину , которая содержит бесконечное число . Если обе половины обладают этим свойством, то выбираем любую. Делим отрезок пополам и выбираем ту половину , которая содержит бесконечное число . Продолжая процесс деления, построим систему стягивающихся , вложенных отрезков .

По теореме существует число В , принадлежащее каждому отрезку . Тогда окрестность содержит отрезок с достаточно большим номером n_ , но тогда , по построению последовательности в окрестности содержится бесконечное число членов последовательности .

ОПР. Последовательность называется подпоследовательностью , если .

Всякая предельная точка подпоследовательности является предельной точкой последовательности .

ТЕОРЕМА 2. Если последовательность имеет предельную точку В, то существует сходящаяся ее подпоследовательность, имеющая В своим пределом.

ДОК. Выберем в каждом отрезке , описанном в ТЕОРЕМЕ 1, член последовательности . Тогда подпоследовательность , , имеет по построению число В своим пределом.

В примере (2) подпоследовательность , имеет предел В₁=1, подпоследовательность , имеет предел В₂=0,5, подпоследовательность , имеет предел

В₃= - 0,5, подпоследовательность , имеет предел В₄= - 1, (4) подпоследовательность , имеет предел В₁=1, подпоследовательность , имеет предел В₂= - 1.

ТЕОРЕМА 3. Если последовательность имеет предел равный А, то любая ее подпоследовательность сходящаяся, причем А является ее пределом.

ДОК. (самостоятельно)

ТЕОРЕМА 4.Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

ДОК. Пусть и произвольно мало. Тогда, по определению предела, множество E_a значений членов последовательности с номерами принадлежат и поэтому является ограниченным. Если добавит к E_a конечное множество значений с номерами , то полученное множество также будет ограниченным.

ТЕОРЕМА 5. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

ДОК. Пусть таких пределов два : А₁ и А₂. Выберем . Тогда окрестности и не пересекаются и в каждой из них должны содержатся все члены последовательности , кроме конечного их числа, что невозможно.

УПРАЖНЕНИЕ . 1) Приведите пример последовательности, имеющей три предельных точки. 2) Множество рациональных чисел счетно, поэтому существует последовательность, членами которой являются все рациональные числа. Какое множество предельных точек такой последовательности.

ТЕОРЕМА 6. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) , ограниченная сверху(снизу) числовая последовательность имеет предел.

ДОК. Заметим, что из ограниченности сверху и условия следует ограниченность . Тогда по теореме 1 у нее есть предельная точка А. Докажем, что А является пределом последовательности . Пусть произвольная окрестность точки А. Из того, что А предельная точка следует, что

,

т.е. вне окрестности содержится только конечное число членов последовательности.

ОПР. Пусть М_а – множество предельных точек последовательности . Предположим, что оно не пусто и ограничено. Тогда числа и называют верхним и нижним пределами последовательности .

ТЕОРЕМА 7. Если последовательность ограничена, то числа и являются предельными точками, т.е. принадлежат .

ДОК. Построим подпоследовательность , предел которой равен . По определению , для существует : . Тогда подпоследовательность сходящаяся и ее предел, т.е. - предельная точка.

Доказательство для аналогично.

ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.

1) Последовательности и способы их задания, примеры. Ограниченные, монотонные последовательности. Предельные точки (частичные пределы) последовательности. Теорема о существовании предельных точек.

2) Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

3) Подпоследовательности. Предельная точка как предел сходящейся подпоследовательности . Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Теорема о принадлежности верхнего и нижнего пределов множеству предельных точек последовательности.

4) Теорема о существовании предела монотонной, ограниченной последовательности.