Лекция 11 . Формула Тейлора.

П.1 Производные и дифференциалы высших порядков.

ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,

.

ПРИМЕРЫ Доказать, что

(1) (2)

(3) (4)

(5)

ДОК. По индукции. (3) 1) при n = 1

2) предположение . Тогда .

ПРИМЕР. Найти вторую производную функции, заданной параметрически: , . .

ОПР. Дифференциалом второго порядка функции , называют дифференциал от первого дифференциала. В общем случае,

.

Так

.

В общем случае,

ПРИМЕР. Форма второго дифференциала не инвариантна.

ДОК. Если сложная функция получена композицией функций и , то и .

Если y – независимая переменная, то , т.е. форма второго дифференциала неизменна, если , в остальных случаях при переходе к сложной функции второй дифференциал изменяет свою форму.

ПРИМЕР. (Бином Ньютона)

Найдем коэффициенты многочлена .

Заметим, что -

коэффициенты бинома Ньютона. Тогда

.

П.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и ее приложения.

ПРИМЕР. ( многочлен Тейлора)

Для каждой функции , имеющей n производных в точке , можно написать многочлен Тейлора: .

Заметим, что многочлен бинома Ньютона является многочленом Тейлора функции в точке . Разность называют остатком формулы Тейлора. Отметим некоторые свойства функции :

1) , поскольку .

2) , для т.к. .

3) .

ТЕОРЕМА 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)

Если существует производная ,то .

ДОК. Применим правило Лопиталя для вычисления предела:

.

П. 3 Формулы Тейлора для основных элементарных функций.( )

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) ,

(6) ,

(7)

ДОК. (2)

.

(3) , ,

,

(1)

(4) , , , .

П.4 Формула для эквивалентной бесконечно малой функции.

ТЕОРЕМА 2.

Пусть бесконечно малая функция в точке и ее производные существуют в точке до порядка n , причем , а . Тогда

 .

ДОК. По формуле Тейлора = .

П.5 Таблица (расширенная) эквивалентностей элементарных функций. .

(1)  (2) 

(3)  (4) 

(5)  (6) 

(7)  (8) 

ДОК. (3) , , .

(4) , ,

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная функции, заданной параметрически.

2) Многочлен Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

3) Формула Тейлора для элементарных функций

(с доказательством).

4) Формула для эквивалентной бесконечно малой функции. Таблица эквивалентностей.

Лекция 12 . Формула Тейлора 2.

П.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

ТЕОРЕМА 1. (обобщенная теорема Коши)

Пусть даны функции , , определенные на отрезке , имеющие непрерывные производные до порядка на интервале , причем

1) (производные в точке a правые)

2) ,

3) , для .

Тогда существует , для которого .

ДОК. Применим последовательно теорему Коши: существует : .

На отрезке выполняются условия теоремы Коши и существует , для которого . Продолжая, на отрезке существует точка , для которого .

ТЕОРЕМА 2. (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

Пусть функция непрерывна и имеет непрерывные производные до ( n+ 1) порядка на конечном отрезке . Тогда существует , для которого , где ( остаточный член в форме Лагранжа).

ДОК. Применим обобщенную теорему Коши для функций и . Условия теоремы проверялись для функции (см. пример) и очевидны для функции . Тогда существует точка , для которой

.

П.2 Интервалы монотонности.

ОПР. Функция возрастает в точке , если для любых достаточно малых , т.е. положительным приращениям аргумента соответствуют положительные приращения функции и уменьшению аргумента ( ) соответствует уменьшение значения функции ( ).

ОПР. Функция убывает в точке , если для любых достаточно малых , т.е. положительным приращениям аргумента соответствуют отрицательные приращения функции и уменьшению аргумента ( ) соответствует увеличения значения функции ( ).

ОПР. Интервал называется интервалом возрастания (убывания) функции ,если каждая его внутренняя точка является точкой возрастания (убывания) функции.

ТЕОРЕМА 3. (ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МОНОТОННОСТИ функции на интервале)

Пусть функция дифференцируема на интервале и ( ) , . Тогда функция строго возрастает (убывает) на интервале .

ДОК. (1) Пусть . Тогда по теореме о среднем Лагранжа существует , для которого .

(2) для убывания по аналогии.

Таким образом, интервалы монотонности функции совпадают с интервалами знакопостоянства ее производной. Для их нахождения необходимо найти производную функции, приравнять ее нулю и найти точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Эти точки, называемые критическими, являются границами интервалов монотонности. Если на одном из них производная , то это интервал возрастания функции, в противном – интервал убывания. Точка, в которой , может служить границей противоположных интервалов монотонности или, например, двух интервалов возрастания, которые можно объединить в один.

ПРИМЕР 1. Функция строго возрастает на R, но имеет точку критической.

П.3. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия.

Понятия локального экстремума (максимума или минимума) можно сформулировать в терминах приращения функции : функция имеет в точке строгий локальный максимум , если ее приращение для любых достаточно малых . Для локального минимума знак неравенства противоположный. Для не строгого локального максимума знаки неравенства не строгие.

ТЕОРЕМА 4.(НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА)

Пусть в точке функция имеет локальный экстремум. Тогда либо , либо производной в точке не существует.

ДОК. (1) для максимума. Если производной в точке нет, то теорема доказана. Если производная существует, то и , т.е. .

(2) для минимума (по аналогии).

ПРИМЕР 2. Функция имеет в точке строгий локальный минимум, хотя в точке производной у функции нет.

ТЕОРЕМА 5. ( ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по первой производной)

Пусть точка a является границей двух интервалов монотонности и , функция непрерывна в точке , причем

(1) интервал является интервалом возрастания, а - интервалом убывания функции. Тогда в точке функция имеет локальный максимум.

(2) интервал является интервалом убывания , а - интервалом возрастания функции. Тогда в точке функция имеет локальный минимум.

ДОК. (1) Из непрерывности функции в точке и монотонного роста функции на интервале следует, что и для . Аналогично, и для . Тогда для достаточно малых . Если предположить строгую монотонность на интервалах и , то экстремум будет строгим.

ТЕОРЕМА 6. (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по второй производной)

Если точка критическая и существует , то в точке функция имеет локальный минимум, если , и локальный максимум, если .

ДОК. Заметим, что в условиях теоремы . Разложим функцию по формуле Тейлора в окрестности точки :

.

Тогда в малой окрестности точки , приращение сохраняет знак производной . Если , то для достаточно малых значений , т.е. в точке локальный минимум. Если , то для достаточно малых и в точке - локальный максимум. Последняя теорема обобщается на случай производных более высоких порядков.

ТЕОРЕМА 7. (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по производной четного порядка)

Если в точке производные , ,

то в точке функция имеет локальный минимум, если и максимум, если .

ДОК. Воспользуемся формулой Тейлора : . Тогда знак приращения определяется знаком производной .

УПРАЖНЕНИЕ. Каково поведение функции в окрестности точки , если

, а ?

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Обобщенная теорема Коши и формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

2) Возрастание функции в точке и на интервале. Теорема о достаточном условии возрастания функции на интервале. Нахождение интервалов монотонности.

3) Локальный экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума по первой производной.

4) Достаточное условие экстремума по второй производной и четной производной.