Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.

П.1 Локальный экстремум функции.

ОПР. Точка называется точкой локального максимума функции , определенной в некоторой окрестности , если . Если неравенство строгое для всех , то говорят о строгом локальном максимуме.

ОПР. Точка называется точкой локального минимума функции , определенной в некоторой окрестности , если . Если неравенство строгое для всех , то говорят о строгом локальном минимуме. Если функция имеет в точке локальный минимум или локальный максимум, то говорят о локальном экстремуме функции.

ПРИМЕР 1.(не характерный)

Функция имеет, по определению, в точке строгий локальный максимум, поскольку , не смотря на то, что убывает в левосторонней окрестности и возрастает в правосторонней окрестности точки . Следующая теорема устанавливает необходимые условия локального экстремума.

ТЕОРЕМА 1. (Ферма)

Если функция в точке имеет локальный экстремум, то либо функция не имеет производную в точке , либо эта производная равна нулю.

ДОК. (1) Если производной в точке нет, то теорема доказана (см. пример 1). (2) Пусть производная существует и . Тогда

и знак для достаточно малых определяется знаком выражения , а он меняется в зависимости от знака . Последнее противоречит условию локального экстремума в точке , т.е. .

П.2 Теоремы о среднем для производных.

ТЕОРЕМА 2. (Ролля)

Если функция 1) непрерывна на отрезке [a;b],

2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b), 3) принимает на концах отрезка равные значения : ,

то существует на интервале (a;b) такая точка c , для которой .

ДОК. По доказанной теореме непрерывная на [a;b] функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения : и . Если одна из точек c₁ или c₂ лежит на интервале (a,b) , то теорема доказана, поскольку эта точка является точкой локального экстремума и по теореме 1 . Если или , но они совпадают с концами отрезка, то и функция постоянная на отрезке[a;b] и .

ПРИМЕР 2 . Функция на отрезке удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме одного: в точке функция не имеет производную. При этом утверждение теоремы не выполняется: для и для .

ТЕОРЕМА 3. (Коши)

Если функции и 1) непрерывны на отрезке [a;b], 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3) на интервале ,

то существует на интервале (a;b) такая точка c , для которой

.

ДОК. Из условия теоремы следует, что . Действительно, если , то функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля и тогда найдется такая точка c , для которой , что противоречит условию 3) теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию .

Проверим, что . Действительно,

и функция удовлетворяет условию теоремы Ролля. Тогда найдется , для которой

.

Из последнего равенства следует утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 4 (Лагранжа)

Если функции 1) непрерывна на отрезке [a;b],

2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b), то существует на интервале (a;b) такая точка c , для которой

.

ДОК. Следует из теоремы Коши для .

П.3 Следствия из теорем о среднем.

ТЕОРЕМА 5. ( правило Лопиталя для раскрытия неопределенности )

Если функции и 1) непрерывны на [a;b) , ( а и b не обязательно конечны), 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3) на интервале ,

4) , 5) существует ,

то существует .

ДОК. Для любого на отрезке выполняются условия теоремы Коши и найдется , для которого .Если , то и = .

В теореме допускается случай .

ТЕОРЕМА 6. ( правило Лопиталя для раскрытия неопределенности )

Если функции и 1) непрерывны на [a;b) , ( а и b не обязательно конечны), 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3) на интервале ,

4) , ,5) существует .,

то существует .

ДОК. (1) Пусть А – конечное число. Тогда .Определим функцию из условия , т.е.

Заметим, что .(условие 5)) Применим для отрезка и функций теорему Коши. Тогда для некоторой точки :

и для всех x , для которых имеем

т.е. .

(2) Пусть . Тогда .

Если x достаточно близок к a , то из следует и .

УПРАЖНЕНИЯ 1) Пусть определена на отрезке и при любых из этого отрезка выполняется неравенство : , . Доказать, что функция постоянная.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Локальный экстремум функции, теорема Ферма.

2) Теоремы о среднем для производных. Теорема Ролля.

3) Теоремы о среднем для производных. Теорема Коши.

4) Теоремы о среднем для производных. Теорема Лагранжа. Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей .

5) Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей .