17. Локальная теорема Лапласа.

Теорема: Пусть при каждом из n независимых испытаний вероятность появления соб А постоянна, равна p и отлична от 0 и 1. Тогда при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что при этих n испытаний соб А наступило ровно m раз приближенно. , где φ(x)= – (ф-я Гаусса) и x=

10.Функция распределения (фр) и ее св-ва.

Ф-ей распределения СВ наз вероятность соб X<x (xϵR) и обозначается через F(x)=p(X<x). Св-ва ФР:1) F(x) – вероятность, => 0≤ F(x)≤1, "xϵR; 2) ФР неубывающая, те для всех а<b, F(b)≥F(a); 3) ; 4) ФР непрерывна слева .

18. Биномиальный закон распределения

СВ называется распределенной по биномиальному закону, если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, то число появлений события А — дискретная случайная величина Х, принимающая значения 0, 1, 2, …, с вероятностями (формула Бернулли), где , , . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формулам: , ,

16. Формула Пуассона.

Пусть произведено n испытаний, вероятность появления соб А в каждом из этих испытаний равна p. При достаточно больших n и малых p (0≤p≤0,1) и при условии, что n*p=λ(λ-const), имеет место приближенное рав-во: – ф-ла Пуассона или з-н редких событий.

1. Элементы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания)

Размещениями из n элементов по m (m≤n) наз. подмножеством, сост. из m элементов и отлич. друг от друга эл-ми или порядком их расположения. Перестановка – размещения из n элементов по n. Сочетаниями из n элементов по m (m<n) наз. такие размещения из n элементов по m, кот. различаются только элементами. или

2. Событие. Виды случайных событий.

Событие – это результат опыта, испытания или наблюдения. Событие, кот. при испытании обязательно наступит, наз. достоверным (Ω). Событие, кот при испытании наступить не может, наз. невозможным (ø). Событие, кот. может наступить или не наступить, наз. случайным (A, B, C …). События А и В наз. несовместными, если появление одного из них исключает появление другого при одном и том же испытании. В противном случае они наз совместными. События наз единовременно возможными, если при испытании наступит хотя бы одно из этих событий. События наз равновозможными, если они имеют одинаковую возможность появиться. Два единственно возможных и несовместных события наз противоположными. Событие, противоположное событию А обознач. Ā.

4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Суммой 2ух соб А и В наз соб А+В, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Если А и В несовместные события, то вместе они появиться не могут. Суммы 2ух несовместных соб А и В наз событием, сост в появлении одного из 2ух соб А или В. Теорема: Вероятность появления одного из 2ух несовм соб равна сумме вероятностей этих событий p(A+B)=p(A)+p(B). События образуют полную систему событий, если они единственно возможны и попарно несовместны ( те если наступает одно из этих событий). Теорема: Сумма вероятностей соб, образ-их полную систему соб равна 1(

5.Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

События А и В наз независимыми, если вер-ость появления одного из них не зависит от появления другого. В противном случае они наз зависимыми. Вероятность соб В, вычисленного в предположении, что соб А наступило, наз условной вер-остью соб В ( ).

6. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых событий.

Произведение соб А и В наз событие А*В, сост в совместном появлении этих событий. Теорема: Вероятность совместного появления 2ух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вер-ость другого, вычисленного в предположении, что первое соб наступило. p(AB)= . Частный случай: Если соб А и В независимы, то и следовательно p(AB)=p(A)*p(B).

7. Формула полной вероятности.

Соб В может наступить с одним из несовместных соб , кот образуют полную систему событий. Тогда выполняется формула: p(B) = .

15. Наивероятнейшая частота.

Частота, кот соответствует наибольшая вероятность в данной серии испытаний, наз наивероятнейшей( ). np-q≤ ≤np+q. Примечание: 1) правая часть отличается от левой на 1 (np+p-np+q=p+q=1); 2) Если np-q дробное число, то np+p также дробное число. И принимает одно значение; 3) Если левые и правые части целые, то принимает 2 значения и .

20. Равномерный закон распределения

Непр. СВ Х называется распределённой по равномерному закону, если она принимает значения из (a,b] и если плотность её распределения имеет вид:

Так как с=1/b-a, то

Функция распределения СВ Х:

Числовые хар-ки:

М(Х)=(b+a)/2

D(X)=(b+a)² /12

(X)=b+a/2

21. Закон нормального распределения

СВ Х наз. распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид: , где >0, а – параметр распределения. Интеграл этой плотности распределения равен 1. Числовые характеристики: M(x)=a, = 2, = .

19. Закон распределения Пуассона

Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы Бернулли пользуются приближенной формулой Пуассона , где число появлений события в n независимых испытаниях; m принимает значения . (среднее число появлений события в n испытаниях). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру , который определяет этот закон, т.е. .