Тема 4. Методы решения многокритериальных задач оптимизации.

 

 

Многокритериальными называются задачи оптимизации, в которых для определения ЦФ используется не один, а несколько критериев оптимальности. Ранее рассматривались задачи оптимизации в которых присутствовал только один критерий. При решении одной и той же оптимизационной задачи выбор различных критериев для определения ЦФ приводил к различным решениям (наборам параметров), как например при расчете бака. При решении однокритериальных задач термин «критерий оптимальности» является синонимом термина «целевая функция», однако не стоит путать эти два понятия. В задаче оптимизации может присутствовать одна и только одна целевая функция, в то же время, как мы увидим, критериев оптимальности может быть много.

На практике многокритериальные задачи возникают, когда свойство проектируемого объекта не может быть описано однокритериальной зависимостью или объединить отдельные критерии в единый критерий не представляется возможным. Например, известно, что любое производство может характеризоваться производительностью и уровнем качества продукции. Как правило, эти показатели находятся в противоречии и производство не может быть одновременно производительным и качественным. С математической точки зрения не существует идеального метода решения таких задач. Каждый из них имеет преимущества и недостатки. Все методы можно разделить на две группы: методы поиска зависимости между критериями и методы объединения критериев в одну ЦФ.

В первом случае задача многокритериальной оптимизации разбивается на несколько однокритериальных оптимизационных задач по числу критериев. Далее каждая такая задача решается отдельно с использованием своего критерия оптимальности. Остальные критерии присутствуют в задаче не в виде целевой функции, а в виде ограничений. Таким образом, устанавливается функциональная зависимость между критериями оптимальности, что облегчает дальнейший выбор оптимального варианта. Рассмотрим два метода поиска решения из данной группы.

4.1. Метод последовательных уступок.

Рассмотрим решение следующей задачи:

1. Предприятие может выпускать три вида продукции: П1, П2, П3, используя три вида ресурсов: материальные (М), трудовые (Т) и финансовые (Ф). Ресурсы ограничены некоторой предельной величиной. Единица продукции каждого вида характеризуется объемом выпуска и качеством изготовления. Объем выпуска будем измерять в руб., качество будем определять трудоемкостью изготовления в н-ч (оценить показатель качества числом в общем случае трудно и не всегда возможно). Исходные данные задачи представлены в таблице 4.1.

Таблица 4.1.Исходные данные к задаче 1.

Характеристика	Вид продукции			Располагаемый ресурс
	П1	П2	П3
Продукция:
объем выпуска качество	7 9	12 7	13 10	- -
Ресурсы:
трудовые	0,2	0,3	0,4	35
материальные	0,5	0,4	0,3	42
финансовые	0,6	0,8	1,2	100

Требуется: найти оптимальный план выпуска продукции (число единиц каждого вида) и в смысле объема выпуска и в смысле качества.

 То есть мы имеем многокритериальную (в данном случае – двухкритериальную) задачу оптимизации. Суть метода последовательных уступок заключается в том, что последовательно решают две задачи оптимизации по одному критерию, принимая его в качестве целевой функции, а другой критерий используют в качестве ОГР.

Примем сначала в качестве ЦФ объем выпуска, который надо максимизировать. При этом качество будет играть роль ограничения К>=Кзад (требуется, чтобы продукция выпускалась не ниже заданного уровня качества). Матмодель задачи будет выглядеть следующим образом:

(4.1)

Данная задача относится к задачам линейного программирования. Результаты ее решения приведены в табл.4.2. В ходе решения заданный уровень качества варьировался от 0 до 970.

Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы:

1. Повышение требований к качеству приводит к уменьшению объема выпуска.

2. В зависимости от требований к качеству меняется структура выпуска (в варианте 1 продукция П1 вообще не выпускается).

3. Дальнейший рост выпуска продукции лимитируется ресурсами.

Таблица 4.2.Результат оптимизации по критерию Об.

Характеристика	Вариант
	1	2	3
	0	900	970
	830	900	970
	1340	1284	1198
П1	0	14	31,7
П2	90	62	29,5
П3	20	34	47,8
Резерв ресурсов:
трудовых	0	0	0,7
материальных	0	0	0
финанасовых	4	1,2	0

Далее решим задачу в другой постановке – максимизируем качество при заданном объеме выпуска. Матмодель будет иметь следующий вид:

(4.2)

Результаты решения при различных приведены в табл.4.3.

Таблица 4.2. Результат оптимизации по критерию К.

Характеристика	Вариант
	1	2	3
	0	1180	1260
	1108	1180	1260
	1028	981	930
П1	48,6	35	20
П2	0	23,8	50
П3	59	50	40
Резерв ресурсов:
трудовых	1,7	0,9	0
материальных	0	0	0
финанасовых	0	0	0

Из таблицы видно, что с ростом объема выпуска качество продукции снижается.

Объединив результаты решения задачи в двух постановках можно построить зависимость объема выпуска продукции от ее качества и наоборот. На рис.4.1. приведен график этой зависимости. Таким образом, используя график можно выбирать связанные между собой оптимальные значения Об и К и определять соответствующие им значения параметров. Данный метод можно обобщить на любое число критериев оптимальности.

Рис.4.1. Определение зависимости между критериями оптимальности по результатам метода последовательных уступок.