Шпоры

Заменив дроби 1/n1, 1/n2, 1/n3 пропорциональными им взаимно простыми целыми числами h, k, l (h:k:l = 1/n1: 1/n2: 1/n3) получим уравнение плоскости в виде hu + kv + lw = n Коэффициенты этого уравнения h, k, l называются индексами Миллера плоскости, а запись (hkl) определяет атомную плоскость в кристаллической решетке.

Так же как и в случае атомных рядов, в кристалле можно выделить эквивалентные плоскости, например, в ПК-решетке плоскости (100), (010), (001).

Эквивалентные плоскости обозначаются символом {hkl}. Так, в ПК-решетке все грани куба (элементарной ячейки) обозначаются как {100}.

Атомная плоскость также будет определена, если заданы два принадлежащих ей атомных ряда.

Вычисление межплоскостных расстояний

межплоскостное расстояние dhkl – расстояние между двумя соседними плоскостями семейства атомных плоскостей, заданных индексами Миллера (hkl).

по определению индексов Миллера атомная плоскость (hkl) является ближайшей к узлу решетки, который выбран за начало координат в КГСК, из семейства {hkl}. Через этот узел можно провести атомную плоскость, параллельную плоскости (hkl), и они будут соседними.

пусть N0 – единичный вектор, определяющий положение нормали к плоскости (hkl). Эта плоскость пересекает порождающий вектор решетки, например а1, в точке, определяемой вектором а1/h. Поэтому, d = N0·(a1/h)(Скалярное произведение). Аналогично получаем d = N0·(a2/k) и d = N0·(a3/l). получена система уравнений:

где V – объем элементарной ячейки. тк N0 – единичный вектор, получаем

V = [a1a2a3] – объем элементарной ячейки. Также справедливо ai g j = 2πδij

Выбрав в качестве порождающих векторов g1, g2 и g3, можно построить элементарную ячейку. Т.к. для этой ячейки выполняется условие трансляции, то множество векторовG образуют решетку, которая называетсяобратной решеткой, а вектора g i – порождающими векторами

(или векторами трансляции) обратной решетки.

Обратная решетка может быть сопоставлена только какой-то конкретной решетке кристалла, которая в этом случае называется прямойрешеткой.

Обратная решетка для простых решеток Браве всегда является простой и принадлежит к той же системе, что и прямая решетка.

каждый из векторов gi перпендикулярен к двум порождающим векторам прямой решетки.

объем ЭЯ обратной решетки V* = g1 [g2g3]. Запишем g1 через порождающие вектора прямой решетки и используем формулу для вычисления смешанного векторного произведения

V* = 2π[a2a3] [g2g3]/V = 2π{(a2 g2)(a3 g3) - (a2 g3)(a3 g2)}/V,

имея в виду, что ai g j = 2πδij, получим VV* = (2π)3 .

Сравнив это выражение с выражениями, определяющими вектора обратной решетки[8], можно записать

N0 (2π/dhkl) = hg1 + kg2 + lg3.

Так как h, k, l – целые числа, то N0(2π/dhkl) принадлежит множеству векторов обратной решетки.

Следствия:

•каждой атомной плоскости прямой решетки соответствует узел обратной решетки;

•каждому семейству атомных плоскостей в прямой решетке соответствует в обратной решетке семейство узлов вдоль направления, перпендикулярного к этим плоскостям.

10.1 Колебания атомов в примитивной одномерной решетке.

Гармоническоеприближение

динамическая решетка с движущимися атомами. Движениеатомов обусловлено температурой кристалла. Ограничения:

1. Среднее равновесное положение каждого атома совпадает с узлом решетки.

C каждым атомом связан определенный узел решетки, определяемый векторомR, относительно которого он совершает колебательное движение. Диффузии атомов нет.

2.Отклонениякаждого атома от егосреднего равновесного положениямалы по сравнению

срасстояниемдо его ближайших соседей.

Пусть r(R, t) – положение в момент времени t атома, среднее равновесное положение которого определяется значением R. r(R, t) можно представить в виде:

r(R, t) = R + u(R, t), где u(R, t) – отклонение атома от его равновесного положения

будем рассматривать кристалл, имеющий примитивную решетку с одноточечным базисом. В этом случаеR

R = n1a1 + n2a2 + n3a3.

Потенциальная энергия взаимодействия двух атомов, взаимное расположение которых задано вектором r, определяется их потенциалом взаимодействия φ(r), который зависит только от расстояния между ними, но неот направления. Рассматриваются только парные потенциалы взаимодействия, т.е. которые зависят только от расстояния между атомами пары и не зависит от расположения других атомов кристалла.

статическая потенциальная энергией кристалла содержащего N атомов

+1 ∑∑{[u(R)− u(R')] }2 φ(R − R') =

4 R R '

=U CT + 1 ∑∑[u(R) ]φ(R − R')− 1 ∑∑[u(R') ]φ(R − R')+

2 R R ' 2 R R '

+1 ∑∑{[u(R)− u(R')] }2 φ(R − R')

4 R R '

Uгар = 1 ∑∑{[u(R)−u(R')] }2φ(R −R')

4 R R'

сила, действующая на частицу, находящуюся в точке ri, имеет вид F = –∂U/∂ri. ri = R + u(R) → ∂U/∂ri = ∂U/∂u(R), и сила равна –∂Uгар/∂u(R).

моноатомная решетка – бесконечная цепочки атомов массой М, с параметром а произвольный атом за начало координат, тогда координаты равновесного положения любого атома цепочки есть na, где n – целое, а его смещение u(na).

Гармоническая энергия

n' = n – 1 и n' = n + 1.

γ – константа, определяемая видом φ(r)

Uгар = γ4 ∑n {[u(na)−u([n −1]a)]2 +[u(na)−u([n +1]a)]2 }=

Сила, действующая на атом с равновесным положением na, есть F = –∂Uгар/∂u(na), и в сумме необходимо оставить только члены, содержащие u(na),. Уравнение движения атома с равновесным положением na имеет вид

ω2 = 2 Mγ (1−cos ka)= 4 Mγ sin2 ka2

т.е. не зависит от номера атома и все атомы цепочки колеблются с одинаковыми частотами.

Для определения значений k необходимо задать граничные условия. Используется периодичные граничные условия(Борна-Кармана) - равновесное положение N + 1 атома совпадает с равновесным положением 1-го атома

а волновой вектор 2π/a ≤ k ≤ 2π/a.

Уравнение ω = f(k) - дисперсионное уравнение, а график ω(k) – дисперсионная зависимость.

для нашего случая

Из вида ω(k) следует, что все возможные значения ω можно получить, рассматривая –

π/a ≤ k ≤ π/a.- первая зона Бриллюэна

фазовая скорость

vф = λ/Т = (2π/k)/(2π/ω) = ω/k

групповая скорость

u(na, t) = u0(k)cos(kna – ωt) = u0(k)[cos(kna)cosωt + sin(kna)sinωt]. При |k| = π/a имеем cos(kna) = (–1)n, sin(kna) = 0 → u(na, t) = u0(π/a)(–1)n.

Это соответствует ситуации, когда соседние атомы, у которых n отличается на единицу, движутся в противофазе. волна с таким вектором является стоячей волной, и ее длина λ = 2а удовлетворяет условию отражения.