Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Экспериментальные методы физики твердого тела

Файл:

Шпоры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

2.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

34.2	разрешение кристаллического монохроматора по длинамволн:
	∆λ =	2d cosθ∆θ	∆λ	=	2d cosθ∆θ	m	= ctgθ∆θ

		m	λ		m	2d sinθ

Используя соотношение λ = h2mn E получим ∆E/E = 2∆λ/λ,с учетом того, что sinθ = mλ/2d, получим

ctgθ = (1/ sin2 θ) −1 = (4d 2m2λ2 ) −1 и окончательно

∆E	= 2ctgθ∆θ = 2∆θ	4d 2		−1
E		m2	λ2

Из этого выражения следует, что∆Е/Е имеет максимальное значение, т.е. энергетическое разрешение наихудшее в первом порядке отражения (m = 1) и при максимальном межплоскостном расстоянии (d = dmax).

С учетом того, что λгр = 2dmax , максимальное значение ∆Е/Едля данного кристалла

(∆E / E)max = 2∆θ(λгр2 / λ2 ) −1 = 2∆θ(Е/ Егр) −1

с помощью кристалла-монохроматора желательно выделять нейтроны с энергией Е Егр, так как с ростом энергии нейтронов энергетическое разрешение ухудшается. Так, для LiFпри ∆θ = 0,5о и нейтронах 0,025 эВ величина (∆Е/Е)макс 5%, а при 1 эВ уже 30%.

диапазон энергий применимости кристаллических монохроматоров,

от Е 0,003 эВ до Е 10÷20 эВ.

35	Принцип действия поликристаллических фильтров нейтронов.

Особенности прохождения нейтронов через поликристаллическое вещество, позволяют убрать из пучка нейтроны одних энергий, пропуская нейтроны других энергий почти неослабленными.

Так как для нейтронов с длиной волны, превышающей [34.1] λгр = 2dmax, отражение от кристалла невозможно, то слой вещества с поликристаллической структурой может практически полностью рассеять нейтроны с длинами волнλ < λгр, пропустив пучок нейтронов с λ > λгр почти без изменений (при поликристаллической структуре на путикаждого нейтрона рано или поздно попадается монокристаллический блок, ориентированный так, что нейтрон сможет от него отразиться и уйти в сторону).

Чтобы такой фильтр не ослаблял проходящий через него пучок медленных нейтронов, вероятность поглощения нейтронов в нем должна быть малой.

в качестве поликристаллических фильтров используют графит (λгр = 6,7 Å), бериллий (λгр = 4 Å) или оксид бериллия (λгр = 4,5 Å).

36.1 Взаимодействие нейтронов с ядрами.

Взаимодействие медленных нейтронов с веществом:

взаимодействие нейтронов с ядрами атомов вещества.

магнитное взаимодействие магнитного момента нейтрона с магнитным моментом электронных оболочек атомов. рассматриваться не будет.

Взаимодействие нейтрона со свободным ядром

1)нейтрон рассеивается силовым полем ядра (потенциальное упругое рассеяние);

2)нейтрон захватывается ядром с образованием промежуточного возбужденного ядра с последующим его распадом по одному из возможных вариантов.

•с испусканием нейтрона;

•с испусканием γ-квантов (процесс радиационного захвата нейтрона ядром);

•с испусканием заряженных частиц (протона и α-частицы);

•делением промежуточного ядра.

упругое рассеяние - такие процессы столкновения нейтрона с ядром, при которых их суммарная кинетическая энергия не изменяется.

Упругое рассеяние с образованием промежуточного ядра и испусканием нейтрона называется резонансным упругим рассеянием нейтрона, так как оно имеет место только при тех энергиях нейтронов, которые соответствуют энергии одного из возбужденных состояний промежуточного ядра. Сечение такого рассеяния может значительно превосходить сечение потенциального упругого рассеяния при той же энергии нейтрона.

У медленных нейтронов:

захват нейтрона с последующим делением промежуточного ядра имеет место только на ядрах нескольких тяжелых изотопов (233U, 235U, 239Pu).

Захват нейтрона с испусканием заряженных частиц имеет место лишь для некоторых легких

ядер (3He, 7Li, 14N, 14C, 35Cl, 35S).

Поэтомурассмотрим только: радиационный захват и резонансное упругое рассеяние.

Радиационный захват нейтрона с испусканием γ-квантов играет важную роль в уменьшении величины нейтронного потока, зондирующего образец. Для медленных нейтронов сечение радиационного захвата σа обратно пропорционально скорости нейтрона. В справочниках приводятся значения σаT на различных ядрах для тепловых нейтронов с ЕТ = 0,025 эВ, и сечение радиационного захвата медленных нейтронов с энергией Еопределяется из соотношения

σTa σa (E) = vv0 = EET .

Самым большимσаT обладают 113Cd (20 600 барн) и 157Gd (259 000 барн.)

задача нахождения сечения потенциального упругого рассеяния на покоящемся свободном ядре массой Мможет быть решена с помощью квантово-механической теории рассеяния. она сводится к задаче о рассеянии частицы приведенной массыµ, на неподвижном силовом центре в системе координат, связанной с центром инерции нейтрона и ядра (за исключением наиболее легких элементов µ mn).

Нейтрон, движущийся вдоль осиz, представляется в виде плоской волныeikz, где

k = 2μE = 2π/ λ (выбирается нормировка, при которой плотность потока в волне равна

скорости частиц.)

Рассеянный нейтрон вдали от рассеивающего центра описывается расходящейся 36.2 сферической волной вида f(χ,k)eikz/r, где f(χ,k) – некоторая функция угла рассеяния χ между осью z и направлением рассеянной частицы в системе центра инерции-

амплитуда рассеяния.

волновая функция должна иметь на больших расстояниях от рассеивающего центра (много больших r0 ~ 10-12 см – радиуса действия ядерных сил) асимптотический вид

ψ ≈ eikz + f (χ,r k) eikr

Вероятность рассеянной частицы пройти в единицу времени через элемент поверхности dS = r2dω (dω – элемент телесного угла) есть dS(v|f(χ,k)|2/r2) = v|f(χ,k)|2dω.

Ее отношение к плотности потока в падающей волне(согласно условию нормировки есть v) dσ = |f(χ,k)|2dω- дифференциальное сечение рассеяния на уголχ в dω.

Так как mn << М, то угол рассеянияχ в системе центра масс нейтрон-ядро приблизительно равен углу рассеяния в лабораторной системеθ. Поэтому сечение потенциального упругого рассеяния медленных нейтронов на покоящемся до рассеяния свободном ядре в

лабораторной системе координат имеет вид dσ/dΩ = |f(θ,k)|2.

взаимодействие отвечает центрально-симметричному потенциалу, и волновая функция должна быть аксиально-симметричной относительно оси z. Такая функция может быть представлена в виде суперпозиции волновых функций непрерывного спектра, отвечающих движению в данном поле частиц с энергией ћ2k2/2µ с различными значениями l орбитальных моментов и равными нулю z–проекциями. Тогда, в теории рассеяния получается следующее выражение для амплитуды потенциального упругого рассеяния нейтрона на ядре с нулевым значением спина

	1	∞	(2l +1)[exp(2iδ	) −1]P (cosθ)	, где δl – фазовые сдвиги, а Рl – полиномы
f (θ) =		∑l=0			Лежандра.
	2ik
			l	l

Если длина волны нейтрона превышает радиус действия ядерных сил, т.е. kr0 << 1, то можно пренебречь всеми членами суммы кроме первого независимо от вида потенциала.

Для медленных нейтронов это выполняется всегда (kr0 = 3,5 10-4). Так как P0(x) = 1, то для

медленных нейтронов f(θ,k) [exp(2iδ0) – 1]/2ik sinδ0(k)/k.

из теории рассеяния следует, что существует конечный пределlimk→0 sin(kδ0 ) = const = −a

постоянная а называется длиной рассеяния Ферми. В случае малых k амплитуда рассеяния представляет собой фазовый сдвиг рассеянной волны, деленный на волновой вектор. Для медленных нейтронов можно считать, что амплитуда потенциального упругого рассеяния от

энергии нейтрона не зависит и

fп(θ,k) = – a.

Если у ядра спин I (в единицах ћ), то при рассмотрении потенциального упругого рассеяния медленных нейтронов используют две длины рассеяния:

а+ – для соударений в состоянии с полным спином системы нейтрон-ядро I + ½ а- – для соударений в состоянии с полным спином I – ½.

Полное число спиновых состояний для системы из двух спинов I1 и I2, равно (2I1 + 1)(2I2 + 1), поэтому для системы нейтрон-ядро полное число спиновых состояний 2(2I + 1) при беспорядочной ориентации спинов нейтронов и ядер.

36.3

Число состояний с суммарным спином I + ½ равно 2(I + 1), а с I – ½ равно 2I.

Поэтому вероятность рассеяния в состоянии с параллельной ориентацией спинов

равна (I + 1)/(2I + 1), а с антипараллельной I/(2I +1)

С учетом этих вероятностей дифференциальное

dσ

I +1

сечение упругого рассеяния на ядре

a+ +

a−

dω

2I +1

со спином не равным нулю

Учет резонансного упругого рассеяния приводит к появлению комплексной добавки в амплитуде рассеяния, которая в этом случае приобретает вид

f (θ, k) = fп + f р (k) = fп +	(Γn / 2k)	где первое слагаемое связано с
f (θ, k) = fп + f р (k) = fп +	(E − E0 ) +iΓ/ 2	потенциальным, а второе – с резонансным
		упругим рассеянием;

Е – энергия нейтрона, Е0 – энергия резонансного уровня промежуточного ядра, Гn и Г – нейтронная и полная ширина уровня с энергией Е0.

Так как энергия уровней промежуточного ядра для большинства элементов больше 1 эВ, то для медленных нейтронов Е << Е0 и, с учетом того, что Г<< Е0, амплитуда упругого рассеяния может быть представлена в видеf(θ,k) = fп – Гn/2kЕ0.

Т.к. Гn ~ k, то амплитуда упругого рассеяния (потенциального и резонансного) медленных нейтронов не зависит от энергии нейтронов и является для каждого элемента константой. Если амплитуда рассеяния положительна, то нейтронная волна как бы "выталкивается" из области действия ядерных сил, если отрицательна, то волна "втягивается" в эту область. Таким образом, можно считать, что для медленных нейтронов амплитуда упругого рассеянияравна константе а, в которой учтено и потенциальное и резонансное упругое рассеяние.

37	Законы сохранения при бесфононном рассеянии нейтронов кристаллом.

	Пусть в кристалл попадает нейтрон с импульсомр		и энергий E = p	2/2m . Пройдя
		0	0 0	n

через кристалл, нейтрон выходит из него с импульсом ри энергией E = p2/2mn.

До входа нейтрона кристалл находился в состоянии с фононными числами заполнения n0kS, а после выхода нейтрона с nks. Под состоянием с фононными числами заполнения nkS понимается такое состояние кристалла, при котором имеется nkS фононов с волновыми векторами kS, где s – индекс соответствующей ветви фононного спектра[12.2].

Закон сохранения энергии для системы нейтрон-кристалл имеет вид:

E0 + ∑∑ ωkS nkS0			=E + ∑∑ ωkS nkS Отсюда
S	k		S k
		∑ ωkS nkS −∑ ωkS nkS0		= −∑ ωkS ∆nkS где ∆n
E − E0	= −	∑ ωkS nkS −∑ ωkS nkS0		= −∑ ωkS ∆nkS где ∆n	= n	– n0	.
			k S	kS	kS	kS
	k S		k S	k S

изменение энергии нейтрона равно сумме энергий фононов, которые им были поглощены, минус энергии фононов, которые им были испущены при прохождении через кристалл.

Если при прохождении нейтрона меняются фононные числа заполнения кристалла, то помимо закона сохранения энергии должен выполняться и закон сохранения квазимпульса, который

имеет вид:	p −p0 = −∑ k∆nkS + G где G – вектор обратной решетки.
	k S

Закон сохранения импульса отвечает полной трансляционной инвариантности пустого пространства, а так как кристалл обладает трансляционной симметрией, то квазиимпульс определен с точностью до ћG.

Бесфононное рассеяние.

фононные числа не меняются, т.е.∆nkS = 0. → что Е = Е0, т.е. энергия нейтрона в случае бесфононного рассеяния кристаллом не меняется. Если рассматривать нейтрон как плоскую волну, то данному случаю должно соответствовать условие Лауэ[23] q = q0 + G, где

q0 = p0/ћ и q = p/ћ – волновой вектор нейтрона до входа и после выхода из кристалла. Причем в случае бесфононного рассеяния|q| = |q0|. Из условия Лауэ следует, что упруго рассеянные нейтроны, которые при прохождении кристалла не изменили его фононные числа заполнения, могут быть обнаружены только в направлениях, удовлетворяющих условию Брэгга-Вульфа.

Подобные нейтроны дают информацию о кристаллической решетке кристалла.

38.1

Законы сохранения при однофононном рассеянии нейтронов кристаллами.

Пусть в кристалл попадает нейтрон с импульсомр0 и энергий E0 = p02/2mn. Пройдя через кристалл, нейтрон выходит из него с импульсом ри энергией E = p2/2mn.

Закон сохранения энергии для системы нейтрон-кристалл имеет вид:

E0 + ∑∑ ωkS nkS0			=E + ∑∑ ωkS nkS Отсюда
S	k		S k
		∑ ωkS nkS −∑ ωkS nkS0		= −∑ ωkS ∆nkS где ∆n
E − E0	= −	∑ ωkS nkS −∑ ωkS nkS0		= −∑ ωkS ∆nkS где ∆n	= n	– n0	.
			k S	kS	kS	kS
	k S		k S	k S

имеет вид:	p −p0 = −∑ k∆nkS + G где G – вектор обратной решетки.
	k S

Однофононное рассеяние. при прохождении через кристалл нейтрон либо поглощает один фонон, либо рождает один фонон. Законы сохранения энергии и квазиимпульса

E = E0	− ωS (k)	испускание фонона.	E = E0	+ ωS (k)	поглощение фонона,
		испускание фонона.			поглощение фонона,
p = p0 − k + G			p = p0 + k + G

выразим k через переданный импульс нейтрона р – р0 с учетом того, что ωS(k ± G) = ωS(k), так как все частоты ωS(k) – периодические функции в обратной решетке.

В случае поглощения фонона k = (р – р0)/ћ – G и из закона сохранения энергии получаем

p2		p2	p −p	0
	=	0	+ ω	0
2m	=	2m	+ ω
2m		2m	S
n		n

В случае испускания фонона k = (р0 – р)/ћ + G и из закона сохранения энергии получаем

p2		p2	p		−p
	=	0	− ωS	0		Если выбрать произвольное направлениер, то в этом направлении
2m	=	2m	− ωS	0
2m		2m
n		n

будут зарегистрированы нейтроны, рассеянные в однофононных процессах, только при некоторых фиксированных значениях модуля импульса|р|, , т.е. с некоторыми фиксированными значениями E = p2/2mn.

Зная направление р (расположение детектора относительно падающего на кристалл пучка нейтронов) и измерив энергию вылетевших нейтронов, можно найтир – р0 и E – Е0.

Таким образом, если в энергетическом спектре нейтронов, вышедших из кристалла в направлении р, имеются нейтроны с импульсомр* и энергией E* = (р*)2/2mn, то кристалл содержит нормальную моду колебаний с частотой (Е* – Е0)/ћ и волновым вектором ±(р* – р0), что соответствует одной точке в фононном спектре ωS(k).

Если Е0 = 0 (холодные нейтроны, энергии которых меньше 10-4 – 10-6 эВ), то такой

38.2

нейтрон может только поглотить фонон в случае однофононного рассеяния. Законы

сохранения в этом случае имеют вид

p02

p −p0

= E

= ω

(k)

p = k + G

+ ω

= ω

погл

поэтому

ωs (k) = ωs (p / )

= ωs (p / )

2mn

Рассмотрим одномерную цепочку, длякоторой ω(k) = 2ωm|sin(ka/2)|. [10.3]

p/ћ = k, и для поглощения нейтрона необходимо выполнение условия Eпогл = ћ2k2/2mn = ћω(k). Оно будет выполняться каждый раз, когда кривыећ2k2/2mn и ћω(k) будут пересекаться.

пересечение будет хотя бы один раз, так как при малых p величина Eпогл квадратична по k, а величина ћω(k) стремиться к нулю по линейному закон

В случае трехмерного кристалла в акустических ветвях ћωs(k) при k → 0 меняется по линейному закону, в оптических ветвях → к константе. При достаточно малых p при любом направлении p энергия нейтрона будет всегда меньше энергий фононов.

Если E0 ≠ 0, то всегда будут существовать решения, отвечающие поглощению фонона в каждой из ветвей ћωs(k). Когда E0 превысит некоторый пороговое значение, становится возможным решение, соответствующее испусканию фонона

При поглощении фонона E – E0 = ћω(k). Если ввести q0 – волновой вектор нейтрона на входе в кристалл из условия p0 = ћq0, то из закона сохранения энергии получаем следующие выражения:

E = ( q0 + k)2

2mn

( q0 + k)2 − ( q0 )2 = ω(k). 2mn 2mn

Обе кривые всегда проходят через ноль, так как ћω(0) = 0. Для приведенного случая имеем два решения .

при изменении величины q0 можно получить большее количество решений.

график получается если (ћk)2/2mn сместить по оси k влево на q0 и вниз на (ћk0)2/2mn = E0.

Лишь в однофононных процессах нейтроны, рассеянные в заданном направлении, могут иметь энергии только из дискретного набора.

Однофононные процессы дадут резкие максимумы при определенных энергиях нейтронов

	39		Законы сохранения при многофононном рассеянии нейтронов кристаллами.

			Пусть в кристалл попадает нейтрон с импульсомр0 и энергий E0 = p02/2mn. Пройдя

через кристалл, нейтрон выходит из него с импульсом ри энергией E = p2/2mn.

Закон сохранения энергии для системы нейтрон-кристалл имеет вид:

E0 + ∑∑ ωkS nkS0			=E + ∑∑ ωkS nkS Отсюда
S	k		S k
		∑ ωkS nkS −∑ ωkS nkS0		= −∑ ωkS ∆nkS где ∆n
E − E0	= −	∑ ωkS nkS −∑ ωkS nkS0		= −∑ ωkS ∆nkS где ∆n	= n	– n0	.
			k S	kS	kS	kS
	k S		k S	k S

имеет вид:	p −p0 = −∑ k∆nkS + G где G – вектор обратной решетки.
	k S

Двухфонное рассеяние

нейтрон может поглотить или испустить 2 фонона или же испустить один и поглотить другой фонон. Обсудим случай двухфононного поглощения. Законы сохранения в этом случае имеют

вид

E = E0 +ħωS(k) + ħωS'(k')

p = p0 + ħk + ħk' + ħG

k и k' – волновые вектора поглощенных фононов, отвечающих ветвям S и S'.

исключим k'	k	′	=	p −p′	−k −G,	ωS′ (k	′	′

								±G) =ωS′ (k ) и получим

p −p

E = E

+ ω

(k) + ω ′

−k

Для каждого фиксированного значения k = k* имеем

(k *)+ ω

p −p

+ ω

−k *

решением которого будет дискретный набор p(E).

S′

Вектор k может непрерывно меняться, поэтому в фиксированном направлении p получится

непрерывный спектр энергии вылетевших из кристалла нейтронов.

вывод справедлив для любых многофононных процессов (участвующих фононов ≥ 2).

Определение дисперсионных зависимостей с помощью рассеяния нейтронов 40 кристаллом.

Зафиксированы энергия и направление падающих на кристалл нейтронов, т.е. E0 и p0, а также направление рассеянных нейтронов (векторp) –на детектор. измеряется энергия вылетевших нейтронов E.

Однофононные процессы[38.1] дадут резкие максимумы при определенных энергиях нейтронов, а многофононные[39] – непрерывный фон.

измеренный энергетический спектр качественно будет иметь вид

Пики E1 и E2 соответствуют испусканию фонона в разных ветвях ωs(k). Пик E3 соответствует поглощению фонона, из какой-то третьей ветви. Для каждого пика определили энергию нейтрона после однофононного рассеяния Ei и так как направление p задано, то определили одновременно и pi.

Для случая испускания фонона

−

= ω

−p

= p0 −p1

и, так как p0 – p1 известно, то

Этому значению k1

отвечает значение ω =

E0 − E1

аналогично

p0 −p2

ω2

E0 − E2

−p

В случае поглощения фонона

−

= ωS

p3 −p0

E3 − E0

ω3

Таким образом, получили три пары значений {ωiki}. Поменяв расположение детектора, измеряется следующий спектр, из которого получается еще несколько пар значений {ωiki} и т.д В результате получится дисперсионная зависимость[10.3] кристалла ω(k).

максимумы имеют конечную ширину.

Связано это с тем, что фононный спектр в кристалле не является "замороженным" – фононы испытывают взаимное рассеяние, которое искажает распределение nkS. Поэтому можно говорить о конечном времени жизни фонона τ, с которым связана неопределенность ħ/τ его энергии. Из экспериментов следует, что τ достаточно велико, но не бесконечно.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>