12.Дробно-линейная функция. Основные свойства. Отображения .

Функция (3), где a,b,c,d – комплексные числа.

так как а то логично доопределить функцию (3) значениями доопределённая таким образом функция (3) будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости С.

Пусть в комплексной плоскости z заданы точки и требуется найти отображение, чтобы эти точки имели заданные образы , то есть выполнилось соотношения , тогда дробно-линейная функция (3) задаваемая (6) может быть записана в виде неявной функции:

(7) выражает функцию (3) переводящую три точки комплексной плоскости z в заданные точки комплексной плоскости w.

13.Круговое свойство дробно-линейной функции, свойство симметрии для дробно-линейного отображения.

Теорема: функция отображает точки симметричные относительно окружности в точки симметрии относительно образа этой окружности.

Дробно-линейное отображение геометрически сводится к преобразованиям растяжения, поворота, сдвига, симметрии относительно единичной окружности симметрии относительно оси.

Утверждение (круговое свойство дробно-линейного отображения).

1)окружность и прямые, не проходящие через особую точку , отображаются в окружности, а окружности и прямые, проходящие через особую точку в прямую.

2)дробно-линейное отображение переводит окружности расширенной комплексной плоскости в окружности, так как прямые на расширенной комплексной плоскости рассматриваются как окружности (с бесконечным радиусом).