9.Аналитические функции. Связь между аналитической и гармонической функциями.
Если функция f(z) дифференцируема не только в точке z0,но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в точке z0 .
Функция аналитическая в каждой точке области Д, называется аналитической (регулярной) в области Д.
Действительная
функция u(x,y)
называется гармонической функцией в
некоторой области
,
если она имеет непрерывные частные
производные 2-го порядка включительно
и удовлетворяют в области Д уравнению
Лапласа
.
Теорема: Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.
Гармоническая функция (x,y) – сопряжённая с гармонической функцией u(x,y), если для них выполнены условия Коши-Римана.
Теорема
3: Для того, чтобы функция u(x,y)
и
v(x,y)
составляли аналитическую функцию
необходимо и достаточно, чтобы они были
взаимосопряжёнными гармоническими
функциями.
Пусть
в области Д задана гармоническая функция
u(x,y),тогда
сопряжённая функция к ней v(x,y)
определяется с точностью до произвольной
постоянной
10.Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
Пусть
функция
имеет производную точку в
,
то есть существует
,
тогда
, то есть
Вывод:
если
,
то коэффициент растяжения комплексной
плоскости w
одинаков во всех направлениях и равен
k,
такое свойство называют свойствами
постоянства растяжения.
Из 2-го соответствия следует, что отображение w сохраняет углы между кривыми – это свойство называют свойствами консерватизмом углов.
Отображение, обладающее свойствами сохранения углов и постоянства отражения называют конформным, если сохраняются также и направлением углов, то конформным отображением 1-го рода, иначе 2-го рода.
Отображения
аналитической функции является конформным
отображением 1-го рода. Пример конформного
отображения 2-го рода:
- не является дифференциров.ни в одной
точке комплексной плоскости.
,
свойства постоянства растяжений, меняет
углы.
11.Функции . Их свойства.
1)линейная
функция. Функция w=
az+
b
называется линейной функцией, где
так
как
,
то отображение является конформным на
всей плоскости С.
Пусть
,
найдём разность:
однолистное
в С.
Пологая
по определению
получим, что (1) является взаимооднозначным
отображением во всей расширенной
комплексной плоскости.
;
Геометрический смысл: рассмотрим отображение w1=az ;тогда |w1|=|a|*|z|, Arg(w1)=Argz+Arga, по свойствам умножения комплексных чисел.
Пусть
тогда
,
а
,
то есть отображение
состоит из 2 преобразований:
и поворота комплексной плоскости на
угол
преобразования подобия.
Преобразование
параллельный перенос на вектор b.
Следовательно, отображение (1) получится путём композиции 3-х операций:
1)преобразование подобия с центром в начале координат и коэффициентом равным |a|.
2)поворота вокруг начала координат на угол
3)параллельного переноса на вектор в.
Линейная функция (1) обладает всеми преобразованиями в прямые, окружность, углы между пересекающимися прямыми сохраняются по величине и экспоненте.
Рассмотрим
частный случай отображения
.
Когда a=d=0,
b=c=1.
Функцию (4) представим в виде композиции
2-х функций:
и исследуем геометрически.
Свойства каждой из этих функций:
1)возьмём
,
-сохраняет углы и обладает свойствами
РИСУНОК
2)
-зеркальное
отображение относительно оси Ох.
Значит (4) состоит из инверсии и зеркального отображения относительно действительной оси.
Выделим целую часть:
Разложим полученную функцию на первообразную.
-
параллельный перенос на вектор
– инверсия
– зеркальное
отображение
-
преобразование подобия с коэффициентом
k=|B|
,
- поворот на угол
.
-
параллельный перенос на вектор А.
Функция
отображает расширенную комплексную
плоскость С на
взаимооднозначно.
Кроме
того функция (3) осуществляет конформное
отображение во всех точках плоскости
кроме
