5.Функции комплексной переменной. Области и кривые.

Пусть некоторое множество комплексной плоскости.

На множестве Д задана функция f, если указан закон, согласно которому каждому комплексному z из множества поставлено в соответствие некоторое комплексное число одно или несколько.

Если каждому z из множества Д ставиться в соответствие единственное значение а тут я не дописала абзац конспекта, так что допишите кто-нить

Множество Д называется областью определения функции f, а множество называется множеством значения функции f.

Функция, ставящая соответствие каждому элементу w из множества Д вполне определенные элементы z из области Д называется обратной функцией f и обозначается .

если функция f и её обратная однозначная, то отображение f называется взаимно-однозначным.

Если для произвольных то функция называется однолистной в той области, в которой это выполняется, в Д.

Пусть функция , а функция тогда функция F отображающая область называется композицией функции F.

то задание функции комплексного переменного f(z) эквивалентно заданию двух действительных функций u,v действительных переменных x(x,y).

РИСУНОК

E-образ Д при

-действительная часть функции f(z),

6.Предел функции комплексной переменной.

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки ; число А называется пределом функции в точке , если для найдётся такое число , что для будет выполняться неравенство: в этом случае записывают что существует т.к. , то существование предела эквивалентно существованию

Пусть функция

непрерывна в , если

в по переменной x,y в точке .

Функция f(z) задана в области называется непрерывной в Д, если она непрерывна в каждой точке z этой области.

Зафиксируем точку области Д и рассмотрим любую точку z этой области, отношение назовём приращением аргумента, тогда -приращение функции.

7.Непрерывность функции комплексной переменной.

Функция w – непрерывна в , если . Функция w определена на Д – называется равномерно-непрерывной на этом множестве, если таких, что расстояние между ними <б, будет соотв.

Теорема Кантера: функция w- непрерывна на замкнутом ограниченном множестве Д равномерно непрерывна на ней.

8.Дифференцируемость функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.

Функция однозначная определена в некоторой окрестности точки ;

Дадим независимому переменному приращение не выводящие за пределы окрестности u, тогда функция получим соответствующее приращение получим соответствующее приращение .

Производной функции в точке называется предел пропорциональности функции к приращению аргумента при условии, что стремиться к 0 произвольным образом:

, таким образом

Если (1) существует, то функция называется дифференцируемой.

Если в (1) не существует предел, то функция не имеет производной точки .

Предел

Пусть

Теорема Каши-Римана:

Пусть функция комплексного переменного определена в окрестности точки , для того, чтобы была дифференцируема в точке необходимо и достаточно чтобы функция имели непрерывные частные производные в точке и были выполнены равенства:

Доказательство:

1)необходимое условие так как (1) существует, то он независим от способа стремления к нулю.

Пусть

Пусть , тогда

Делим на 2 предела:

;

Значит, функция дифференцируема, имеет производную только в точке z=0.

Для дифференцируемых функций комплексного переменного сохраняются правила дифференцирования и таблицы производных аналогичные соответствующим действиям.