1.Комплексные числа. Модуль. Аргумент. Арифметические операции.

Комплексным числом z называют упорядоченную пару (x,y) действительных чисел x,y, то есть пара (x,y)не считается равной (x,y) не=(y,x) если x не=y, x,y принадлежит R.

Геометрически в каждой паре (x,y) соответствует точка плоскости xOy с координатами (x,y).

РИСУНОК

Комплексные числа заполняют плоскость . X-действительная часть комплексного числа, у-мнимая. X=Rez, y=Imz.

Расстояние от числа z до начала координат называется модулем комплексного числа z и обозначается |z|= .

Углом между вектором Oz и полож.направлениес оси Ox называется аргументом комплексного числа z и обозначается .

В точке z=0 (0(0,0)) не определён.

Парам z=(x,0) соответствуют точки действительной оси, соотв.действ.значение x.

Пары принадлежащие оси Oy – чисто мнимые числа.

Пары (0,1)=i и называются мнимой единицей.

Арифметические операции .

1.СЛОЖЕНИЕ

;

РИСУНОК.

2.УМНОЖЕНИЕ

Рассмотрим комплексное число z равное:

Где x,y-действительные числа, i-мнимая единица.

z=x+iy-называется алгебраической или декартовой формой записи комплексного числа.

Сложение и умножение на константу в алгебраической форме принимает вид:

Произведение

- действительная часть Rez1*z2

– мнимая часть Imz1*z2

Rez=x, Imz=y.

3.ДЕЛЕНИЕ

-форма записи комплексного числа, называемая тригонометрической.

Умножение комплексного числа в тригонометрической форме:

-формула МУАВРА.

При делении комплексного числа в тригонометрической форме делятся их модули. ;

СВОЙСТВА:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2.Формулы Эйлера. Извлечение корня из комплексного числа.

называется комплексное число w такое, что

Получается, что определяется неоднозначно различными конями будут корни при k=0,…,n-1

Корень комплексного числа имеет ровно n различных значений.

Геометрически все корни являются вершинами правильного n-угольника вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат. R= .

РИСУНОК.

- формула ЭЙЛЕРА

При соглассно формуле Эйлера получаем: -показательная форма записи комплексного числа.

3.Последовательности комплексных чисел. Основные свойства.

Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определённое комплексное число z.

тогда говорят, что на С задано последовательное комплексных чисел на С , т.к. ; – эквивалентное число А в алгебраической форме называется пределом последовательности если для

Т.к. то имеет место теорема:

Теорема:

Для того, чтобы последовательность , где имеет предел равный необходимо и достаточно, чтобы последовательности действительных чисел – сходятся, причём

Доказательство следует из определения предела:

1)

Из теоремы 1 из свойств пределов действительных чисел следует, если…

ТЕОРЕМА 2:

Если , то существуют пределы последовательности , при этом имеет место равенство:

найдётся такой номер

4.Стереографическая проекция. Сфера Римана. Связь точек сферы Римана с точками комплексной плоскости.

Если –произвольные действительные числа, то наз комплексной переменной, а множество С – комплексной плоскостью.

Расстояние находится как расстояние между 2-мя точками на плоскости:

Уравнение окружности:

Пусть x и y текущие координаты в точке z,

тогда уравнение окружности запишем в следующем виде: –окружность радиуса r в точке, - окружность радиус 1, с центром в начале координат.

Неравенство – дельтоокрестность в точке .

РИСУНОК

Множество Д называется открытым, если каждая точка этого множества имеет окрестность, состоящую из точек множества Д.

Точка называется гармоничной точкой множества Д, если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие z, так и не принадлежащие.

Множество всех граничных точек называется границей множества Д и обозначается

Пусть на некотором отрезке заданы две непрерывные действительные функции x(t) и y(t), тогда эти функции определяют в комплексной плоскости С некоторую непрерывную кривую (*)

Кривая (*) считается ориентирована в направлении возрастания параметра t.

(*) – параметрическим уравнением кривой.

Множество Д называется связным, если любые две точки множества Д можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в Д.

Открытое связное множество называется областью .

Область Rez>0

не является областью, оно замкнуто.

Область Д дополненная границей, называется областью и обозначается .

.

не является ни областью, ни замкнутой включена лишь часть границы.

Область Д называется односвязной, если её граница состоит из одной непрерывной кривой без точек самопересечения, возмож на замкнутой, в противном случае область называется многосвязной.

РИСУНОК.

Множество Д называется ограниченным, если существует такое число , что множество Д целиком содержит в круге

РИСУНОК

Сфера с рад= касается плоскости в начале координат. Место пересечения луча со сферой – N.

Соответствие между точками комплексной плоскости С и точкой сферы S называется стереографической проекцией, а сама сфера S сферой Римана, такое соответствие является взаимооднозначным, причём пересекающиеся прямые плоскости С изображаются пересекающимися кривыми на сфере S, причём углы между пересекающимися кривыми сохраняются.

Самой точке P соответствует точка , которая называется бесконечно удалённой точкой, а комплексную плоскость С дополненную точкой называют расширенной комплексной плоскостью С.

Из указанного соответствия следует, что окрестность в точке можно считать внешность любого круга радиуса R, то есть |z|>R.

РИСУНОК