Раздел 3 Системы линейных уравнений

1. Система какого вида называется системой m линейных уравнений с n неизвестными? Что называется коэффициентами при неизвестных? Что называется свободными членами? Что называется решением системы? Решение какого вида называется тривиальным? Решение какого вида называется нетривиальным? Какая существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от числа решений? Какая существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от свойств свободных членов?

2. Что называется матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Что называется расширенной матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Сформулируйте и обоснуйте метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.

3. Что называется определителем системы n линейных уравнений с n неизвестными? Определители какого вида называются вспомогательными определителями для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите критерий существования ненулевых решений у системы n линейных уравнений с n неизвестными. Когда система n линейных уравнений с n неизвестными имеет только тривиальное решение? Сформулируйте и докажите.

4. Сформулируйте и докажите теорему Кронекера - Копелли о совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными.

5. Сформулируйте и обоснуйте правило применения обратных матриц для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Раздел 4 Евклидовы пространства

1. Какое пространство называется евклидовым? Что называется скалярным произведением? Запишите и докажите неравенство Коши – Буняковского.

2. Что называется длиной вектора в евклидовом пространстве? Какими она обладает свойствами? Что называется углом между векторами в евклидовом пространстве? Какие векторы называются ортогональными? Какая система векторов называется ортонормированной? Докажите, что система ортонормированных векторов является линейно независимой.

3. Докажите, что в конечномерном евклидовом пространстве можно ортонормированный базис.

4. Преобразование какого вида называется ортогональным? Какими свойствами обладает матрица ортогонального преобразования?

5. Преобразование какого вида называется симметрическим преобразованием? Какими свойствами обладает матрица симметрического преобразования?

Раздел 5 Векторная алгебра

1. Что называется вектором? Что называется длиной вектора? Какой вектор называется нулевым вектором? Какие векторы называются коллинеарными? Какие векторы называются сонаправленными, противоположно направленными? Какие векторы называются равными?

2. Какой вектор называется суммой двух векторов? Какими свойствами обладает операция сложения двух векторов? Какие практические правила сложения двух векторов Вам известны?

3. Какой вектор называется произведением вектора на число? Какими свойствами обладает операция умножения вектора на число?

4. Сформулируйте и докажите критерий коллинеарности двух векторов на плоскости. Какие векторы на плоскости являются линейно независимыми? Сформулируйте и докажите. Какими свойствами обладают векторы плоскости, исходящие из одной точки?

5. Какие векторы называются компланарными? Сформулируйте и докажите критерий компланарности векторов в . Какими свойствами обладают векторы реального пространства , исходящие из одной точки?

6. Какая система координат в пространстве называется прямоугольной системой координат? Как определяются координаты точки? Какой вектор называется радиус-вектором? Как определяются его координаты? Как вводятся координаты вектора в общем случае? Как выполняются действия над векторами, заданными своими координатами? Выведите формулу, для определения координат вектора, если известны координаты начала и конца вектора.

7. Как определяется угол между векторами? Всегда ли его можно определить однозначно? Что называется скалярной проекцией вектора на ось? Сформулируйте и докажите свойства скалярной проекции на ось. Каков геометрический смысл координат вектора?

8. Что называется скалярным произведением векторов? Сформулируйте и докажите свойства скалярного произведения векторов. Выведите формулу для определения скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические приложения скалярного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности двух векторов.

9. Какая тройка векторов называется правой? Что называется векторным произведением двух векторов? Сформулируйте и докажите свойства векторного произведения векторов. Выведите формулу для определения векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические приложения векторного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и докажите признак коллинеарности двух векторов.

10. Что называется смешанным произведением трех векторов? Сформулируйте и докажите свойства смешанного произведения векторов. Выведите формулу для определения смешанного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические приложения смешанного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и докажите критерий компланарности трех векторов.