3. Вопросы выносимые на зачет по дисциплине (по разделам)

Раздел 1 Комплексные числа и теория многочленов

1. Числа какого вида называются комплексными числами? Что называется действительной и мнимой частью комплексного числа? Какие комплексные числа называются равными?

2. Что называется суммой двух комплексных чисел? Какими свойствами обладает операция сложения двух комплексных чисел?

3. Что называется разностью двух комплексных чисел? Выведите формулу для определения разности двух комплексных чисел.

4. Что называется произведением двух комплексных чисел? Какими свойствами обладает операция умножения двух комплексных чисел? Как на практике осуществляется умножение комплексных чисел?

5. Что называется частным от деления двух комплексных чисел? Выведите формулу для определения частного двух комплексных чисел. Какое число называется комплексно сопряженным данному? Как на практике осуществляется деление комплексных чисел?

6. Как геометрически можно интерпретировать комплексные числа? Что называется модулем и аргументом комплексного числа? Какая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа? Выведите формулы для умножения и деления комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме. Выведите формулу для возведения в степень комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

7. Что называется корнем n-й степени из комплексного числа? Выведите формулу для определения корней n-й степени из комплексного числа. Каково их взаимное расположение на плоскости?

8. Какая формула называется формулой Эйлера? Какая форма записи комплексного числа называется показательной формой записи комплексного числа? Как осуществляются операции над комплексными числами, представленными в показательной форме?

9. Что называется многочленом степени n? Какие многочлены называются равными? Как осуществляются сложение, вычитание, умножение и деление многочленов?

10. Что называется корнем многочлена? Какой корень называется корнем кратности к? Сформулируйте теорему Безу и следствия к ней. Что такое схема Горнера? Для чего она используется?

11. Сформулируйте основную теорему алгебры. Сформулируйте правила подбора рациональных корней для уравнений с целыми коэффициентами. Сформулируйте алгоритм разложения многочленов с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

12. Сформулируйте алгоритм разложения рациональных дробей на простейшие.

Раздел 2 Матрицы и определители

1. Что называется матрицей? Как классифицируются матрицы в зависимости от размера? Как классифицируются матрицы в зависимости от значений их элементов? Какие матрицы называются равными?

2. Что называется суммой матриц? Любые ли матрицы можно складывать? Как на практике осуществляется сложение матриц? Какими свойства обладает операция сложение матриц?

3. Что называется разностью матриц? Выведите формулу для определения разности двух матриц.

4. Что называется умножением матрицы на число? Любые ли матрицы можно умножать на число? Как на практике осуществляется умножение матрицы на число? Какими свойствами обладает операция умножения матриц на число?

5. Что называется произведением двух матриц? Всегда ли можно определить умножение двух матриц? Какими свойствами обладает операция умножения двух матриц? Какие матрицы называются коммутативными? Приведите примеры матриц, являющихся коммутативными по отношению к любым матрицам.

6. Какие операции над матрицами называются элементарными преобразованиями матриц? Как называются матрицы, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований? Сформулируйте алгоритм приведения матрицы к треугольному виду. Любая ли матрица может быть приведена к треугольному виду?

7. Какая операция над матрицами называется транспонированием матрицы? Сформулируйте и докажите свойства операции транспонирования.

8. Запишите формулы для вычисления определителей 1,2,3 порядков.

9. В каких случаях определитель равен нулю? Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.

10. Какие операции над элементами определителя изменяют его величину? Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.

11. Какие операции над элементами определителя не изменяют его величины? Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.

12. Что называется дополнительным минором и алгебраическим дополнением для элемента определителя? Какими свойствами они обладают?

13. Сформулируйте и обоснуйте практические правила вычисления определителей порядка n ³ 4.

14. Выведите формулу для вычисления определителя двух квадратных матриц.

15. Какая матрица называется невырожденной? Какая матрица называется обратной? У любой ли матрицы существует обратная? Какими свойствами обладает операция нахождения обратной матрицы? Сформулируйте и докажите. Выведите формулу для вычисления обратной матрицы.

16. Что называется минором порядка к для матрицы? Что называется рангом матрицы? Что называется базисным минором? Какие теоремы о рангах Вам известны? Сформулируйте и докажите. Какие практические правила определения ранга матрицы Вам известны? Сформулируйте и обоснуйте. Какие матрицы называются подобными? Как связаны их ранги?