Задача 3.
Дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
Требуется:
а) найти её решение с помощью формул Крамера;
б) записать систему в матричном виде и решить её средствами матричного исчисления.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Пример решения задачи 3
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Требуется: 1) найти её решения с помощью формул Крамера;
2) записать систему в матричном виде и решить её средствами матричного исчисления;
3) решить систему методом Гаусса.
Решение:1) Рассмотрим матрицу системы
линейных уравнений
.
Главный определитель матрицы d
=
= 2
3
1 +
1
(–2)
1 +
1
3
∙ (–1) – (–1) 3 1 – 1 (–2) 2 –1 3 1 = 5 (вычислили по правилу треугольника).
Так как d = 5 0,
то система имеет единственное решение,
которое и можно найти по формулам
Крамера. Для системы трех уравнений с
тремя неизвестными формулы Крамера
имеют вид:
где
d1, d2 и d3 –
получаются из определителя d заменой
соответственно первого, второго и
третьего столбца на столбец из свободных
членов. Составим и вычислим эти
определители, используя, например,
правило треугольника.
,
,
.
По формулам Крамера получаем:
,
,
.
2) Данную систему можно представить в матричном виде: АХ=В,
где
– матрица системы уравнений,
– матрица-столбец из неизвестных,
– матрица-столбец из свободных членов.
Умножим слева обе части уравнения на
А–1, где А–1 –
обратная для матрицы А матрица.
Тогда
.
Значит, решение матричного уравнения
АХ=В
будем искать в виде Х=А–1
В, где А–1 – матрица,
обратная матрице А.
Так как определитель матрицы А не
равен нулю (d=5), то обратная матрица
существует и равна:
,
где
–
алгебраическое дополнение для элементов
исходной матрицы.
Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Получаем
.
Тогда
.
3) Решим систему методом Гаусса, для это
расширенную матрицу системы с помощью
элементарных преобразований приведем
ступенчатому виду:
.
Для удобства поменяем местами первую
и последнюю строки.
- поменяем местами вторую и третью
строки, получим:
.
Этой матрице соответствует система
.
Из последнего уравнения находим
.
Подставляя данное значение во второе
уравнение, находим
.
Подставляя найденные значения в первое
уравнение, находим
Ответ: х = 3; y = 1; z = 2.
Задача 4. Найти общее решение системы.
|
а)
b)
|
a)
b)
|
|
a)
b)
|
a) b)
|
|
a)
b)
|
a)
b)
|
|
a)
b)
|
a)
b)
|
|
a)
b)
|
a)
b)
|
|
a)
b)
|
a)
b)
|
|
a)
b)
|
a)
b)
|
|
a)
b)
|
a)
b)
|
|
a)
b)
|
a)
b)
|
|
a)
b)
|
a)
b)
|
Пример решения задачи 4
Найти общее решение системы.
а)
,
б)
.
Решение.
а) С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы системы. Для этого приведём матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.
.
Получили трапециевидную матрицу, в
которой только две ненулевые строки.
Значит, ранг r
= 2. Число
неизвестных в системе n
= 4.
Так как r <
n, то система имеет бесчисленное
множество решений, зависящих от n
– r
= 4
– 2
= 2
параметров. Базисный минор – это отличный
от нуля минор, порядок которого равен
рангу матрицы. Пусть
– базисный минор. Тогда x1 и
х2 – базисные неизвестные,
т. к. коэффициенты перед ними образуют
базисный минор, x3 и х4
– параметры. Обозначим для удобства
x3 =
С1, х4
= С2
и выразим базисные неизвестные
через параметры. Так как r
= 2, то
достаточно взять два уравнения,
соответствующие базисному минору:
Решим эту систему с помощью формул Крамера.
;
.
Тогда:
.
Общее решение исходной системы имеет
вид:
или
б) С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу к трапециевидной форме:
Умножим первую строку поочередно на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвертой строкам.
Сложим вторую и третью строки. Умножим
вторую строчку на (-1) и прибавим к
последней.
.
Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Видим, что ранг основной матрицы равен 2 и ранг расширенной матрицы равен двум. Значит система совместна ( то есть имеет хотя бы одно решение) и ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n – r = 4 – 2 = 2 параметров.
Пусть
– базисный минор (например,
не
является базисным). Тогда x1 и
– базисные неизвестные, т. к.
коэффициенты перед ними образуют
базисный минор,
и х4 – параметры. Обозначим
для удобства
=
С1, х4
= С2
и выразим базисные неизвестные
через параметры. Так как r =2, то
достаточно взять два уравнения,
соответствующие базисному минору:
Решим эту систему с помощью формул Крамера.
;
.
Тогда:
.
Общее решение исходной системы имеет
вид:
или
Ответ: а) ,
б) .
Задача 5. Написать разложение вектора
по векторам
.
Пример решения задачи 5
Написать разложение вектора
по
векторам
,
если
,
.
Решение.
Разложение имеет вид
.
Запишем в координатной форме:
,
получаем систему
Решая систему любым способом, получаем:
,
Тогда разложение имеет вид:
Ответ:
.
Задача 6
Коллинеарны ли векторы
,
построенные по векторам
?
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
,
,
, 
, 
, 
, 
, 
,
,
, 
,
, 
,
, 
, 
, 
,
,
,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
,
, 
,
, 
, 
,
,
, 
,
,
Пример решения задачи 6
Коллинеарны ли векторы
,
построенные по векторам
,
если
.
Решение:
Найдём координаты векторов
и
:
.
Найдём
отношения соответствующих координат
векторов
и
:
.
Так как
координаты пропорциональны, то
.
Ответ: .
Задача 7
Компланарны ли векторы
,
и
?
Пример решения задачи 7
Компланарны ли векторы
.
Решение:
Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Найдём смешанное произведение векторов:
.
Следовательно, вектора не компланарны.
Ответ: нет.
Задача 8. Найти координаты вектора
в базисе
,
если он задан в базисе
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Пример решения задачи 8
Найти координаты вектора
в базисе
,
если он задан в базисе
и
.
Решение.
Координаты вектора в новом базисе
находятся по формуле
,
где S – матрица перехода
от базиса
к
базису
и
в нашем случае имеет вид
,
- матрицы-столбцы из координат данного
вектора в данных базисах. По условию
.
Найдем для матрицы S обратную.
,
значит
существует.
Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы S.
Тогда
Получаем:
.
То есть,
.
Ответ: .
Задача 9.
Даны два комплексных числа z1=а1+ib1, z2=а2+ib2,
вычислить в алгебраической форме z1+z2 и z2+z1;
вычислить в алгебраической форме z1-z2 и z2-z1;
вычислить в алгебраической форме z1·z2 и z2·z1;
вычислить в алгебраической форме z1/z2 и z2/z1;
вычислить z12 и z23;
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
а1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
b1 |
2 |
-2 |
-2 |
2 |
2 |
-2 |
-2 |
2 |
2 |
-2 |
а2 |
-3 |
-3 |
3 |
3 |
3 |
-3 |
3 |
-3 |
-3 |
3 |
b2 |
4 |
-4 |
-4 |
4 |
-4 |
4 |
4 |
-4 |
-4 |
-4 |
|
||||||||||
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
а1 |
-1 |
-1 |
5 |
1 |
-1 |
-1 |
5 |
1 |
-1 |
-1 |
b1 |
-2 |
2 |
2 |
-2 |
-2 |
2 |
2 |
-2 |
-2 |
5 |
а2 |
-3 |
-3 |
-3 |
-3 |
5 |
3 |
3 |
-3 |
5 |
3 |
b2 |
4 |
4 |
4 |
-5 |
4 |
-4 |
-4 |
5 |
4 |
4 |
6.) Дано комплексное число z=а+ib, вычислить все корни третьей степени из данного числа.
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
а |
11 |
26 |
47 |
-2 |
46 |
88 |
-18 |
9 |
-52 |
-16 |
b |
-2 |
-18 |
-52 |
11 |
9 |
-16 |
26 |
46 |
47 |
88 |
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
а |
-11 |
-26 |
-47 |
2 |
-46 |
-88 |
18 |
-9 |
52 |
16 |
b |
2 |
18 |
52 |
-11 |
-9 |
16 |
-26 |
-46 |
-47 |
-88 |
Таблицы для определения задач контрольной работы по двум последним цифрам зачётной книжки.
|
Последняя цифра зачетной книжки |
|||||||||||
Предпоследняя цифра зачетной книжки |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
задача 1 |
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
задача 2 |
20 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
||
задача 3 |
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
задача 4 |
20 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
||
задача 5 |
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
задача 6 |
20 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
||
задача 7 |
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
задачи 8, 9 |
20 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
1 |
задача 1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
задача 2 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
||
задача 3 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
||
задача 4 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
||
задача 5 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
задача 6 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
||
задача 7 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
||
задачи 8, 9 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
2 |
задача 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
задача 2 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
||
задача 3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
задача 4 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
||
задача 5 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
||
задача 6 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
||
задача 7 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
||
задачи 8, 9 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
3 |
задача 1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
задача 2 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
||
задача 3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
||
задача 4 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
||
задача 5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
||
задача 6 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
задача 7 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
||
задачи 8, 9 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
4 |
задача 1 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
задача 2 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
||
задача 3 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
||
задача 4 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
задача 5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
||
задача 6 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
задача 7 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
||
задачи 8, 9 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
Предпоследняя цифра зачетной книжки |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
5 |
задача 1 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
задача 2 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
задача 3 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
||
задача 4 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
задача 5 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
||
задача 6 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
задача 7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
||
задачи 8, 9 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
6 |
задача 1 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
задача 2 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
задача 3 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
||
задача 4 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
задача 5 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
||
задача 6 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
||
задача 7 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
||
задачи 8, 9 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
7 |
задача 1 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
задача 2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
задача 3 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
||
задача 4 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
||
задача 5 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
||
задача 6 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
задача 7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
||
задачи 8, 9 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
8 |
задача 1 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
задача 2 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
||
задача 3 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
||
задача 4 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
задача 5 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
||
задача 6 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
задача 7 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
||
задачи 8, 9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
9 |
задача 1 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
задача 2 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
задача 3 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
||
задача 4 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
задача 5 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
||
задача 6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||
задача 7 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
||
задачи 8, 9 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
||