Односторонний предел по Гейне
Число
называется
правосторонним
пределом
(правым
пределом,
пределом
справа)
функции
в
точке
,
если для всякой последовательности
,
состоящей из точек, больших числа
,
которая сама сходится к числу
,
соответствующая последовательность
значений функции
сходится
к числу
.
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .[1]
Односторонний предел по Коши
Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа
отыщется
отвечающее ему положительное число
такое,
что для всех точек
из
интервала
справедливо
неравенство
.
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала
справедливо
неравенство
.[1]
Односторонний предел как предел вдоль фильтра
Односторонний
предел является частным случаем общего
понятия предела
функции вдоль фильтра.
Пусть
и
Тогда
системы множеств
и
являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:
Обозначения
Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
При этом используются также сокращённые обозначения:
и
для
правого предела;
и
для
левого предела.
Свойства
Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.
Предел функции в бесконечности
Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞).
Число A называется пределом функции f(x) при x → + ∞ (обозначается A = lim x → + ∞ f(x) ), если " ε > 0 $ N: " x > N Ю |f(x) − a| < ε.
Пусть функция f(x) определена на ( − ∞,a).
Число A называется пределом функции f(x) при x → − ∞ (обозначается A = lim
x → − ∞ f(x) }, если " ε > 0 $ N: " x < − N Ю |f(x) − a| < ε.
Если существуют пределы функции f(x) при x → + ∞ и при x → − ∞ и они равны одному и тому же числу A, то это число A назыается пределом функции f(x) при x → ∞ {обозначается
A = lim x → ∞ f(x) .
Теоремы о пределах последовательностей и правила их вычисления распространяются и на пределы функций в бесконечности.
6.2. Свойства функций, непрерывных в точке
Если функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны в точке , то f(x) + g(x);
f(x)
g(x);
(g(
)0)
также непрерывны в точке
.
2. Если функция y=f(x) непрерывна в точке и f ( )0, то существует окрестность этой точки, для всех х из которой f (х)0.
3. Если
функция y=f(U)
непрерывна в точке
,
функция U=g(x)
непрерывна в точке
(
=g(
)),
то сложная функция y=f(g(x))
непрерывна в точке
и можно записать:
