Дифференцирование неявных функций и заданных параметрических

Если f(x)(x)  f|(x)(x). Пусть теперь аргумент x и функция y=y(x) связаны уравнением, не разрешенным относительно y.

Например:(*) x²+y³=a² – определяет , подставляя которую в (*), получим тождество: ,  что если (*) продифференцируем по x, считая y=y(x), то получится новое уравнение относительно x, y, y, которое обратилось бы в тождество, если в него подставить выражения y=y(x) и y=y(x).

Так как * в общем случае не известны * всегда можно найти *.

Дифференцируя (*), найдем 2x+3y²y=0 

Правило. Если F(x,y)=0  для нахождения y надо продифференцировать уравнение по x, считая y=y(x). Разрешая полученное уравнение относительно y, найдем выражение y через x и y.

Примеры

1. x³+y³-3axy=0

2. xe^y+y=a

Пусть теперь x=(t) и y=(t), где (t) и (t) - дифференцируемые функции, и 0. Естественно, что (x) и (x) непрерывны и поэтому при t0, x0 и y0.

Так как (t)0 x=(t) - монотонная функция и поэтому t и x 0 одновременно. Тогда

Примеры x=acost, y =asin t x=a(t-sin t), y=a(1-cost) (y=ctg(t/2))

Иногда, при дифференцировании произведения многих функций или частного, а также при дифференцировании показательно-степенной функции y=[u(x)]^v(x) используется так называемое логарифмическое дифференцирование. Сначала находят ln y, затем

и потом находят y=y(ln y)

Пример: y=u^v, ln y=vln u

(ln y)=vln u + vu/u 

Дифференциал функции

Столь же важным в математическом анализе, как и производная, является понятие дифференциала функции.

Для любой дифференцируемой f(x) связь между y и x записывается в виде (*) y=(y+)x=yx+x Величина  - бесконечно малая вместе с x , то есть

В силу этого x - бесконечно малая высшего порядка, по сравнению с x , а yx - бесконечно малая величина того же порядка, что и x, если y0 при данном x.

Таким образом (*) определяет бесконечно малую y (y0) в виде суммы двух слагаемых: yx=O(x) и x=o(x). Поэтому yx - будет главной частью приращения y, причем пропорциональной x.

Определение. Дифференциалом функции называют главную (линейную) часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента и обозначают символом:

(**) dy=yx Если (**) применить к аргументу x, то так как (x)=1 

dx=(x)x=1x=x Поэтому dy=yx Внося dy и dx в (*) получим:

(***) y=dy+dx

Таким образом установлены следующие свойства дифференциала и его связь с приращением функции:

1. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента ( то есть независимой переменной ).

dy=yx

2. Разность между приращением функции y и ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с x

y-dy=o(x)

а также (при y0) высшего порядка по сравнению с y или dy

y-dy=o(y) (т.к. y=O(x), y-dy=o(dy) (т.к. dy=yx)

3. В силу последнего свойства, при y0 приращение y и дифференциал dy при бесконечно малом x являются равносильными бесконечно малыми величинами:

dy~y Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл:

Значение дифференциала функции при данных x и x равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой x графика f(x) при переходе от x к точке с абсциссой x+x.

В самом деле dy=KN, то есть катет MNK, MK=x, KMN=, tg=y KN=MKtg=yx=dy