Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
Величина,
обратная бесконечно малой величине,
есть величина бесконечно большая, и
наоборот, величина, обратная бесконечно
большой величине, есть величина бесконечно
малая. Пусть
и
,
тогда
и
.
Символически
можно записать:
и
Примеры:
1)
;
2)
;
3)
.
П р и м е ч а н и е. При вычислении пределов возможны следующие комбинации бесконечно малых и бесконечно больших величин, которые называются неопределенностями:
.
Сравнение бесконечно малых Определения
Допустим,
у нас есть бесконечно малые при одном
и том же
величины
и
(либо,
что не важно для определения, бесконечно
малые последовательности).
Если
,
то
—
бесконечно малая высшего
порядка малости,
чем
.
Обозначают
.Если
,
то
—
бесконечно малая низшего
порядка малости,
чем
.
Соответственно
.Если
(предел
конечен и не равен 0), то
и
являются
бесконечно малыми величинами одного
порядка малости.
Это
обозначается как
или
(в
силу симметричности данного отношения).
Если
(предел
конечен и не равен 0), то бесконечно
малая величина
имеет
-й
порядок малости
относительно бесконечно малой
.
Примеры сравнения
При
величина
имеет
высший порядок малости относительно
,
так как
.
С другой стороны,
имеет
низший порядок малости относительно
,
так как
.
С
использованием О-символики
полученные результаты могут быть
записаны в следующем виде
.
то
есть при
функции
и
являются
бесконечно малыми величинами одного
порядка.
В
данном случае справедливы записи
и
При бесконечно малая величина
имеет
третий порядок малости относительно
,
поскольку
,
бесконечно малая
—
второй порядок, бесконечно малая
—
порядок 0,5.
Эквивалентные величины Определение
Если
,
то бесконечно малые величины
и
называются
эквивалентными
(
).
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.
При
справедливы
следующие соотношения эквивалентности
(как следствия из так называемых
замечательных
пределов):
,
где
;
,
где
;
,
,
где
.
Предел числовой последовательности.
Рассмотрим множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, …..n,…
Пусть каждому натуральному числу по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие действительное число х1, х2, х3, … хn, … Тогда говорят, что на множестве натуральных чисел задана числовая последовательность {xn}.
Числовая последовательность считается заданной, если указано правило, по которому может быть вычислен любой член последовательности, если только известен его номер. Это правило называется формулой n члена последовательности.
Например: хп = n2
Предел последовательности
Число а называется
пределом последовательности
{xn},
если для всякого ε > 0 найдётся число
N(ε) такое, что для всех n
> N выполняется неравенство
│хп - а│< ε. Обозначают
.
Последовательности имеющие предел называются сходящимися.
Неравенство │хn - a│< ε равносильно неравенству а – ε < хn < a + ε, то есть точки хn€ ( a – ε, a + ε ) или ε – окрестности точки а. Учитывая это замечание определение предела последовательности можно сформулировать так:
Число а называется пределом последовательности, если для любого ε>0 найдется такое число N(ε), что все члены последовательности с номерами n > N попадут в ε – окрестность точки а. Вне этой окрестности либо не имеется точек хп, либо имеется конечное их число.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Доказательство:
Пусть последовательность имеет два различных предела а и b. Рассмотрим окрестности точек а и b такой малой величины, что они не пересекаются. Воспользуемся вторым определением предела последо-вательности. Поскольку число а является пределом последовательности, то существует такая окрестность точки а, что все члены последовательности за исключением может быть их конечного числа попадут в ε – окрестность точки а. Так как число b является пределом последовательности, то все члены последовательности за исключением лишь их конечного числа попадут в ε – окрестность точки b. Таким образом, все члены одного бесконечного множества попали в окрестности двух различных точек, чего быть не может. Получили противоречие. Следовательно, предел единственный и теорема верна.