Дифференциал дуги плоской и пространственной кривой.

Определение. Кривые, для которых может быть установлено понятие длины, называются спрямляемыми.

Условие спрямляемости для плоской кривой, заданной заключается в следующем: на спрямляемом участке кривой и должны иметь непрерывные производные по t - и . Аналогично записывается условие спрямляемости и пространственной кривой: непрерывность

Для всякой спрямляемой кривой справедливо геометрическое свойство: предел отношения б.м. дуги кривой к стягивающей её хорде равен 1, при условии, что хорда стягивается в точку. Если длину , а хорды - .

Опираясь на это свойство найдём выражение для дифференциала дуги кривой.

На плоской кривой возьмём 2 точки и которые соответствуют и . Длина хорды . Найдём теперь производную от длины дуги по :

,

т.к. при

и т.к.

Если кривая задана , то принимая за параметр кривой получим , и полагая в (*) получим .

Если же кривая задана уравнением в полярных координатах , то за параметр можно принять угол , и тогда

.

Примеры. Найти для циклоиды . Ответ:

Дифференциал дуги пространственной кривой находится аналогично. Отличие состоит в том, что длина хорды , соединяющей и определяется формулой:

.

Пример. Винтовая линия:

Формулам для часто придают вид:

или ,

которые легко получить из предыдущих внося под знак корня и заменяя .

Дифференциал дуги кривой имеет простой геометрический смысл: он равен длине отрезка касательной от точки касания до точки с абсциссой .

Кривизна плоской кривой.

С равним между собой 2 кривые: и - имеющие в точке одну и ту же касательную. Пусть и , лежащие на и имеют одну и ту же абсциссу. Очевидно, что более искривлённой является кривая , т.к. касательная к ней при переходе от к поворачивается на больший угол . С другой стороны, при одинаковом угле поворота касательной более искривлена та дуга, длина которой меньше, т.е. кривая .

Т.о. можно принять, что мера кривизны конечного участка гладкой (дифференцируемой) кривой должна быть прямо пропорциональна углу, на который поворачивается касательная при переходе от начальной точки дуги к конечной и обратно пропорциональна длине этой дуги. Поэтому, за меру кривизны конечной дуги (средняя кривизна) можно принять отношение угла поворота касательной к длине дуги. Пусть - средняя кривизна, - угол смежности, на который поворачивается касательная при переходе от к и - длина дуги. Тогда .

Применим это определение к окружности радиуса . Для неё равен углу между радиусами и . Т.к. длина дуги .

Т.о. кривизна любой дуги окружности есть const .

Вывод естественный: любая дуга при перемещении её по окружности всеми точками будет лежать на окружности. При этом с уменьшением R кривизна будет возрастать.

Для кривых только для окружности и для прямой (0). Для других кривых, вероятно, кривизна – переменная величина. Она различна для дуг разной длины с общей точкой и зависит от положения на кривой.

Поэтому, естественно от понятия средней кривизны на данном участке перейти к понятию кривизны кривой в данной точке, совершая предельный переход при . За меру кривизны кривой в точке примем предел, к которому стремится средняя кривизна дуги, имеющей начало в заданной точке, когда длина . .

Определение. Кривизна кривой в точке есть производная от угла поворота касательной к кривой по длине дуги. При этом угол поворота касательной можно измерять разностью углов касательных с осью, например, Х.

Выводим теперь формулу для вычисления кривизны кривой в любой её точке. Пусть - угол касательной с ОХ. Тогда , а т.к. .Если не учитывать направление вогнутости кривой, то Построим теперь окружность, которая имеет общую касательную с кривой в точке, общую кривизну и направление выгнутости. Такую окружность окружностью кривизны, её радиус – радиусом кривизны, а её центр – центром кривизны.

Т.к. кривизна окружности обратна её R, то для радиуса кривизны получим

(*) - радиус кривизны.

Центр кривизны лежит на нормали со стороны вогнутости кривой, на расстоянии от данной точки на кривой.

Рисунок соответствует случаю .

или .

Но

(**) - координаты центра кривизны.

Т.к. и являются функциями , то при изменении (как параметра) мы будем получать некоторую кривую, на которой лежат центры кривизны кривой .

Определение. Геометрическое место центров кривизны кривой называют её эволютой. Сама же кривая называется эвольвентой по отношению к эволюте.

Пользуясь уравнениями (**) следующие свойства эволюты:

1. Касательная к эволюте в некоторой её точке служит соответствующая этой точке нормаль эвольвенты.

2. Дифференциал дуги эволюты равен дифференциалу радиуса кривизны эвольвенты.