Сложная функция.

Пусть переменная у является функцией аргумента u ( y = f ( u )), а u в свою очередь является функцией аргумента х (u=φ(х)), все значения которой содержатся в области определения функции f(u). Тогда у=f[φ(х)] называется сложной функцией или функцией от функции.

Например: y = sin x² , y = ln

Сложная функция является элементарной функцией, если она задается формулой, составленной из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических и трансцендентных операций.

Обратная функция.

Рассмотрим некоторую функцию у = f(х), которая по закону f каждому хХ ставит в соответствие уУ. Решим обратную задачу. Пусть функция y=f(x) монотонна. Возьмём теперь какое-то значение у₀  У. Тогда найдется в области Х такое значение х₀ при котором функция станет равной у₀ = f (x₀). Для того чтобы по известному значению у отыскать х нам потребуется закон g, в соответствии с которым, мы получим новую функцию х = g(у). Эта функция называется обратной для функции f (х).

Если перейти к привычному обозначению зависимой и независимой переменных, то есть у = g(х), то графически это выразится перестановкой одной оси координат на место другой. Для осуществления этой операции необходимо повернуть плоскость хоу на 180⁰ вокруг биссектрисы первого координатного угла. Таким образом, график функции у = g(х) получится как зеркальное отображение графика функции у = f(х) относительно биссектрисы первого координатного угла.

Например, функции у =а^х и у = log_ax взаимно-обратные функции. Графики этих функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла.

Основные элементарные функции.

Алгебраические операции сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и трансцендентные ( логариф-мические, тригонометрические, обратные тригонометрические ) называются элементарными.

Функция у = у(х) называется элементарной, если её можно задать одним аналитическим выражением, так что каждое значение у получается из х при помощи конечного числа элементарных операций .

Основными элементарными функциями называются следующие:

1. Степенная функция у = хⁿ, где n - любое действительное число.

2. Показательная функция у = а^х, где а > 0, а ≠ 1.

3 .Логарифмическая функция у = log_ax, где а > 0, а ≠ 1.

4. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x

5. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,

y = arctg x, y = arcctg x.

Рассмотрим подробнее основные элементарные функции и их графики.

Линейная функция.

,

.

Функция строго возрастает при , строго убывает при . График функции – прямая линия.

Квадратичная функция.

.

1. При .

Функция строго убывает на и строго возрастает на . График функции – парабола с осью , вершиной в точке и ветвями, направленными вверх.

2. При .

Функция строго возрастает на и строго убывает на . График функции – парабола с осью , вершиной в точке и ветвями, направленными вниз.

Обобщенная степенная функция .

1. 

.

Функция четная, строго убывает на и строго возрастает на (рис. 1.1).

2. 

.

Функция нечетная, строго возрастает (рис. 1.2).

3. 

.

Функция четная, строго возрастает на и строго убывает на (рис. 1.3).

4. 

.

Функция нечетная, строго убывает на и (рис. 1.4).

5. 

.

При некоторых и могут быть шире.

Экспонента (рис. 1.5).

.Функция строго возрастает.

Показательная функция (рис. 1.6).

; .

При функция строго убывает, при строго возрастает.

Логарифмическая функция.

Логарифм натуральный (рис. 1.7).

.Функция строго возрастает.

Логарифм с основанием (рис. 1.8). , .

При функция строго убывает, при строго возрастает.

Тригонометрические функции.

1. (рис. 1.9): .

Функция нечетная. Период . На каждом из промежутков , , функция строго возрастает, на , , строго убывает.

2. (рис. 1.9): .

Функция четная. Период . На каждом из промежутков , , строго убывает, на , , строго возрастает.

3. (рис. 1.10): .

Функция нечетная. Период . Функция строго возрастает на каждом из промежутков , .

4. (рис. 1.11): .

Функция нечетная. Период . Функция строго убывает на каждом из промежутков , .

Обратные тригонометрические функции.

1. (рис. 1.12): .

Функция нечетная, строго возрастает.

2. (рис. 1.13): .

Функция строго убывает.

3. (рис. 1.14):

. Функция нечетная, строго возрастает

4. (рис. 1.15):

. Функция строго убывает.