Исследование функции на экстремум с помощью второй роизводной.

Пусть при производная от обращается в нуль, т.е. . Пусть, кроме того, и непрерывна в окрестности . Тогда справедлива

Теорема. Пусть , тогда при имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство. Пусть и . Т.к. непрерывна, то малый отрезок, содержащий , во всех точках которого .

Т.к. убывает на выбранном отрезке . Но , при и при . Т.е. при переходе через меняет знак с “+” на “-“, а это значит, что имеет в .

Пусть теперь в окрестности . Т.к. при и при . Т.о., при переходе через изменяет знак с “-” на “+“, т.о. мы имеем в .

Если в , то в этой точке может быть max, min, или не быть ни того ни другого. В этом случае исследование функции надо вести первым способом (т.е. исследовать знак первой производной).

Схема исследования.

		Крит. точка
0	<0, “ – “	max
0	>0, “+”	min
0	0	неизвестно

П ример:

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть непрерывна на [a, b]. Тогда она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений.

Предположим, что имеет на [a, b] конечное число критических точек. Если , где - точка max (одного из), точнее – наибольший max. Однако может случиться, что sup достигается на одном из концов отрезка.

Итак, достигает sup либо в одной из точек max, либо на концах отрезка.

То же самое можно сказать и о наименьшем значении : оно достигается либо на конце (концах) отрезка, либо во внутренней точке, является точкой min.

Итак, если требуется найти наибольшее (наименьшее) значение непрерывной , то необходимо:

1. Найти все max (min) на отрезке [a, b]

2. Вычислить значения при

3. Из всех полученных выше значений выбрать наибольшее (наименьшее).

Пример. . Найти supr и inf на

Формула Тейлора

Предположим, что имеет все произвольные до n+1 –го порядка включительно в окрестности . Найдём многочлен степени не выше n, такой, что , а , где : Итак

(1)

Естественно предположить, то «близок» к в некотором смысле.

Будем искать в форме многочлена по степеням с неопределёнными коэффициентами:

(2)

будем искать из условия (1). Предварительно найдём производные от

(3)

Подставляя теперь вместо и заменяя на , согласно (1), получим:

Подставляя теперь вместо в получим

(5)

Обозначим теперь через разность между :

и тогда или в развёрнутом виде

(6)

называют остаточным членом. Для тех значений , для которых мал, даёт приближённое представление .

Т.о. (6) даёт возможность заменить многочленом с точностью, определяемой .

Следующая задача – оценить при различных . Запишем в форме

,

где - некоторая функция, которую нужно определить. При фиксированных и имеет определённое значение .

Рассмотрим далее вспомогательную функцию от

Далее найдём

После сокращения получим

(*)

Итак, имеет производную для , причём и . Поэтому к применима т. Ролля: , в которой . Отсюда и из (*) следует, что

или и тогда

остаточный член в форме Лагранжа. Т.к. заключено между и , то его можно представить в виде , где , и тогда можно записать в виде:

Формула называется формулой Тейлора для .

Если в формуле Тейлора положить , то

(**) .

Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена.