Геометрический смысл производной

Выше мы установили, что скорость является производной от пути S(t) по времени t. Теперь – геометрической толкование. В первую очередь введем понятие касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеется некоторая кривая y=f(x). Возьмем на ней фиксированную точку М₀ (x₀,y₀=f(x₀)) и точку М₁y=f(x). Тогда М₀М₁ - прямая, которая называется секущей. Пусть теперь М₁ М₀, но всегда М₁y. Если при неограниченном приближении М₁ к М₀ секущая М₀М₁ стремиться занять положение М₀T, то М₀T - называется касательной к y в точке М₀.

Итак, пусть М₀=(x₀,y₀), а М₁=(x₀+x,y₀+y) и пусть - угол му М₀М₁ и ОХ. Тогда

Если x0  М₀М₁, М₀М₁будет поворачиваться вокруг М₀ (т.к. она «закреплена») и  будет меняться с изменением x . Если при x0 , то прямая, проходящая через точку М₀ и составляющая с ОХ угол  и будет некоторой касательной:

 , т.е. f(x₀)=tg

Геометрический смысл: Значение производной f(x) при заданном x равно tg, образованного касательной к графику f(x)в точке M(x,y) с положительным направлением оси ОХ..

Чтобы вывести уравнение касательной к f(x) в точке М₀=(x₀,y₀) можно поступить следующим образом. Нам известна точка, через которую она проходит, и ее угловой коэффициент, равный tg или f(x₀), т.е. k₀=f(x₀). Уравнение такой прямой имеет вид:

y-y₀=k₀(x-x₀) или y-y₀=f(x₀)(x-x₀)

Непрерывность и дифференцируемость функций

Согласно определению

Естественно, что такой предел существует далеко не для всякой функции f(x) или не во всех точках области определения f(x).

Определение: Функция, имеющая в точке x=x₀ производную, называется дифференцируемой в x₀. Функция, имеющая производную во всех точках x(a,b) называется дифференцируемой на (a,b).

Очевидно, что необходимым условием дифференцируемости функции в точке x₀ или на (a,b) является ее непрерывность ( в точке x₀ или на (a,b)).

В самом деле существует тогда, когда y бесконечно малая одновременно с x. Докажем это утверждение:

Пусть y=f(x) - дифференцируема в x₀ и y(x₀)= y₀. Это значит, что при x=x₀, так как предел   (*), где  - бесконечно малая величина.

Умножая (*) на x получим y=(y₀+)x,так как (y₀+) - ограниченная величина  y - бесконечно малая величина и следовательно f(x) -непрерывна в x=x₀.

Однако непрерывность f(x) не является достаточным условием дифференцируемости, так как для двух бесконечно малых величин предел их отношения может и не существовать (в частности равен ). Это означает, что не существует определенной касательной, или =90^o и tg=. ( Графические примеры).

Заключение: не всякая непрерывная функция дифференцируема, но всякая дифференцируемая функция непрерывна.

Определение. Дифференцируемая на (a,b) функция называется гладкой.

Определение. Функция f(x) называется дифференцируемой на отрезке [a,b], если она дифференцируема на интервале (a,b) и дифференцируема на концах отрезка в смысле существования правосторонней и левосторонней производной, то есть если существуют

и

Существует класс кусочно-гладких (дифференцируемых) и кусочно-непрерывных функций, для которых условия дифференцируемости (непрерывности) нарушаются в конечном числе изолированных точек.