6.1. Непрерывность функции в точке

Функция f называется непрерывной в точке х, если предел функции f(x) при ха существует и равен значению функции в этой точке:

(6.1)

Из определения следует, что функция f непрерывна в точке , если выполняются следующие условия:

1) функция f определена в точке и ее окрестности;

2) существуют односторонние пределы: и ;

3) односторонние пределы равны между собой: ;

4) односторонние пределы равны значению функции в точке :

.

Определение. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве.

Записывают:

f ( функция f непрерывна в точке , т. е. принадлежит классу функций, непрерывных в точке );

f ( функция f непрерывна на множестве У, т. е. принадлежит классу функций, непрерывных на множестве У ).

Можно доказать:

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области их определения (или на каждом интервале области определения).

Определение. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва.

В точках разрыва нарушается хотя бы одно из условий (1-4).

Классификация точек разрыва:

Точки разрыва первого рода – это точки, в которых существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой или не равны значению функции в этой точке.

Точки разрыва второго рода – это точки, в которых хотя бы один односторонний предел равен .

Понятие о производной

Мгновенная скорость движения

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела, которое будем характеризовать материальной точкой М. Расстояние S от отсчитываемое от М_о будет зависеть от t:S = f(t) (1)

Пусть в момент t, М находилась на расстоянии S от М_о, а в момент t+t – М₁ S+S. Т.о. за t S изменилось на S. Отношение дает среднюю скорость движения за t: (2)

Тем не менее за t скорость может и не быть постоянной и V_ср не дает представления о скорости в момент t. Однако, чем меньше t, тем точнее мы будет знать скорость в момент t. Наиболее точно скорость М в t будет тот предел, к которому стремится V_ср при t0: (3)

Этот предел, если он существует, и называют скоростью движения М в момент t.

Определение: Скоростью движения в данный момент (мгновенной скоростью) называется предел отношения приращения пути S к приращению времени t, когда t0.Т.к. S=f(t+t)-f(t)  (3`)

Из (3`) следует, что V не зависит от t, а определяется только видом f(t) и t.

Пример. Пусть . Найти V(t).

Определение производной

Пусть y=f(x) определена в некотором промежутке. Пусть аргумент x получил приращение x. Тогда функция получит некоторое приращение y:

x  f(x) x+x  y+y=f(x+x)  y=f(x+x) - f(x)

Составим отношение

Если существует, то его называют производной функции f(x):

Определение: Производной функции f(x) по аргументу x называется предел отношения y к приращению х, когда последнее произвольным образом стремится к нулю (0).

В общем случае для x имеет определенной значение, т.е. производная также является функцией от x. Наряду с обозначением f(x) употребляется:

Конкретное значение f(x) при x=a: или Операция взятия производной от f (x) называется дифференцированием f (x). Пример: y=x², x+х  y+y=(x+х)², y=2xх+х² y=1/x …