Приклад 31.

Боржник домовився з банком про консолідацію трьох платежів термінів 15.05, 15.06, 15.08.

Суми платежів 10, 20, 22,8 т. грн. Термін консолідації 01.08. Ставка простих відсотків і=36,5%. К=365 дн. Знайти суму консолідованого платежу.

Розв’язок.

Знайдемо терміни від дня консолідації до дати кожного з платежів. За таблицею номерів днів року маємо:

15.05=135, 15.06=166, 15.08=227, 01.08=213.

Отже,

Зведемо усі платежі на дату консолідації. При цоьму перший і другий платежі треба наростити, а третій дисконтувати на дату консолідації.

Отримуємо таке рівняння еквівалентності:

Звідси:

т. грн.

Аналогічно можно консолідовувати векселі, що має значення при визначенні вартості пакету векселів.

Консолідацію можно проводити за складними ставками.

Приклад 32.

Платежі т. грн., т. грн. з термінами 100 дн., 150 дню відрахованих від однієї бази замінюються одним терміном 200 днів. Складна річна ставка 30%. К=365 днів. Знайти консолідуючий платіж.

Розв’язок.

Зведемо платежі на дату консолідації

т. грн.

Перший платіж нарощували 200-100=100 днів, другий - 200-150=50 днів.

Якщо задана сума консолідованого платежу, то треба знаходити дату консолідації (знаходити n)

Приклад 33.

Платежі 10, 15, 20 т. грн. сплачуються через 25, 45, 70 днів після якоїсь дати. Їх замінюють одним платежем 47 т. грн. Проста ставка і=36,5%. Рік невисокосний. Знайти дату консолідації.

Розв’язок.

Зведемо всі платежі на початок відліку. Отримаємо таке рівняння еквівалентності:

де - термін консолідованого платежу.

Отже термін консолідації - 98 днів від дати відліку.

Таким же чином можливо проводити консолідацію за складними ставками і за обліковими ставками, можна розв’язувати і інші задачі зміни умов контрактів.

В тих випадках, коли консолідована сума дорівнює сумі платежів:

,

застосовують наближену формулу терміну консолідованого платежу:

(55)

тобто беруть як середнє арифметичне зважене з термінів платежів

Приклад 34.

Платежі 10, 15, 20 т. грн. сплачуються через 30, 40, 70 днів після якоїсь дати. Прийнято рішення замінити їх одним платежем 45 т. грн. Знайти термін консолідованого платежу.

Розв’язок.

За формулою (55) знаходимо:

день.

8. Потоки платежів і фінансові ренти.

Фінансові операції часто передбачають розподілені у часі виплати і надходження.

Наприклад, погашення довгострокового кредиту, інших заборгованостей, грошові показники інвестиційного процесу, доходи по цінних паперах, тощо.

В зв’язку з цим вводять поняття потоку платежів.

Потік платежів - це послідовність сплат і надходжень. Члени потоку можуть бути як додатні (надходження) так і від’ємні (сплати).

Фінансова рента (аннуїтет) - це потік платежів, усі члени якого додатні величини, а проміжки часу між двома послідовними сплатами - однакові.

Наприклад, створення грошових фондів, оплата доходу по акціях і облігаціях, сплата споживчого кредиту, показники інвестиційного процесу. Усе це приклади фінансових рент.

Схема ренти - один з методів фінансового аналізу.

Для рент вводять такі параметри:

(R)- член ренти - величина окремого платежу;

період ренти - інтервал часу між платежами;

(i) - відсоткова ставка - ставка, що використовується при нарощенні, або дисконтуванні;

(n) - термін ренти - час від початку ренти до кінця її останнього періоду;

(p) - кількість платежів на рік.

(m) -кількість нарахувань відсотків на рік.

Ренти класифікують за тривалістю періода на річні, коли сплата раз на рік, та р-термінові, коли сплата р разів на рік рівними частинами.

Відсотки по ренті теж можуть нараховуватись раз і m разів на рік.

Якщо члени однакові, то рента зветься сталою. Якщо - різні, то рента змінна.

Рента з скінченою кількістю членів зветься скінченою. Рента з нескінченою кількістю членів - нескінченою.

Коли сплата відбувається в кінці періодів, то це - рента постнумерандо. Коли на початку періодів, то - рента пренумерандо.

Рента називається терміновою, якщо сплати по ній починаються з початком ренти. Рента - відкладена, коли сплата починається пізніше.

Узагальненими характеристиками ренти є нарощена сума і теперішня величина.

Нарощена сума S - сума усіх членів ренти з нарахованими на них відсотками на кінець терміну ренти.

Теперіщня величина А - сума усіх членів ренти дисконтованих на початок ренти.

Розглянемо річну сталу ренту (звичайну ренту).

S - нарощена сума,

A - теперішня величина,

R - член ренти,

і - відсоткова складна ставка,

n - термін ренти.

Нехай сума R вноситься в кінці кожного року в банк під і річних складних відсотків на протязі n років. Відсотки нараховуються в кінці року. Маємо сталу річну ренту постнумерандо.

Підрахуємо нарощену суму S:

Перший член зросте до , другий - до останній - рівен R. Отже

За формулою суми геометричної прогресії знаходимо

(56)

Вираз

(57)

називають коефіцієнтом нарощення ренти. Він показує у скільки разів S більше за R. s затабульвані для цілих n і різних і. В інших випадках обчислюються безпосередньо.

З (56), (57) отримуємо нарощену суму ренти у вигляді:

(58)

Підрахуємо теперішню вартість ренти А:

це сума усіх платежів по ренті дисконтованих на її початок. Нехай

(59)

тоді перший член має вартість на початок ренти, другий член - ,..., останній - .

За формулою суми геометричної прогресії

(60)

Вираз

(61)

називають коефіцієнтом зведення ренти. Отже, маємо формулу

(62)

. показує у скільки разів А більше за R. Коефіцієнти . для цілих n та певних і табулюються. Для інших (n,i) обчислюються безпосередньо.

Мають місце властивості:

(63)

Із виразів (57), (61), (56), (60) випливає:

(64)

Тобто S можна отримати з теперішньої величини А нарощенням з множником

Приклад 35.

Створюється фонд. Внески робляться раз в кінці року по 100 т. грн. на протязі 3-х років. На зібрані кошти нараховується 36% річних в кінці року. Знайти нарощену суму (розмір фонду на кінець утворення).

Розв’язок.

За формулою (58) при R=100 т. грн., n=3, і=36% знаходомо

т. грн.

Приклад 36.

Інвестиції передбачають щорічне виділення коштів по 100 т. грн. на протязі 4-х років. Діюча ринкова ставка довгострокових кредитів дорівнює 48% складних річних. Знайти теперішню вартість потоку платежів.

Розв’язок.

За формулою (60) знаходимо

т. грн.

Загальною рентою називається рента, у якій член ренти сплачується р разів на рік рівними частинами, а нарахування відсотків відбувається m разів на рік. Нарощена сума S і теперішня величина А знаходяться за формулами

(65)

Приклад 37.

В умовах прикладу 35 на зібрані кошти нараховується відсотки щоквартально. Знайти нарощену суму.

Розв’язок.

Маємо m=4, p=1. За (65) знаходимо

т. грн.

Порівнюючи з прикладом 35 бачимо, що більш часте нарахування відсотків збільшує нарощену суму.

Важливим видом ренти є вічна рента.

Вічна рента - це послідовність платежів з необмеженою кількістю членів.

Прикладами вічної ренти є виплати по облігаційним займам, пенсійним і страховим фондам, тощо.

Нарощена сума вічної ренти дорівнює нескінченності.

Теперішня величина знаходиться з (60) з врахуванням (63) так:

(66)

Формула (66) має значення при заміні ренти, або її викупі, при оцінці акцій і облігацій.

З (66) знаходимо

(67)

тобто, член вічної ренти дорівнює відсотку по ренті від її теперішньої (зведеної) величини. Формула (67) використовується при капіталізації постійних доходів.