Приклад 7.

Банк в першому кварталі випустив депозитний сертіфікат з терміном погашення в кінці першого кварталу. Сертіфікат викуповується за 50 грн. Оголошена доходність - 30% простих річних. К=365. Знайти ціну продажу сертіфікату і суму дисконту.

Розв’язок.

S=50грн., i=0,3, K=365,

t=31+28+31=90дн. За (11) знаходимо:

грн., D=50-46,56=3,44грн.

Банківський облік (або облік векселів) - це відшукання теперішньої суми боргу Р за відомою величиною S у майбутньому, терміном позики n і обліковою ставкою d.

При банківському обліку відсотки за користування позикою нараховуються на суму S, яку треба сплатити у майбутньому. Отже, за базу нарахування береться сума боргу у майбутньому, а відповідні відсотки є антисипативними.

Нехай

d - проста облікова ставка;

P,S - теперішня і майбутня величини боргу,

n - термін угоди в роках.

Тоді

(12)

Зокрема, при n=1 маємо вираз облікової ставки через суми боргу на початку і в кінці року:

(13)

Для порівняння наведемо вираз простої відсоткової ставки в тих же умовах:

(14)

З (13), (14) видно, що і та d відрізняються вибором бази порівняння.

Облікові ставки вимірються у відсотках і у коефіцієнтах.

З (12) знаходимо

P=S-Snd=S(1-nd) (15)

Вираз (1-nd) називається дисконтним множником за простою обліковою ставкою d.

З (12) знаходимо дисконт

D=S-P=nSd (16)

Звичайно банківський облік за простими ставками використовується в межах року. В цьому випадку n - дробове і покладають

(17)

де t - точна кількість днів угоди, К - база року, яка приймається рівною 360 днів.

Приклад 8.

Кредит 10000 грн. виданий на рік під облікову ставку d=15%. Знайти суму отриманих грошей і дисконт узятий банком.

Розв’язок.

P=10000(1-0,15)=8500 грн.

D=10000-8500=1500 грн.

Приклад 9.

Вексель номінальною вартістю 1500 грн. облікований у банку за 30 днів до його терміну погашення по обліковій ставці 20%. Знайти суму отриману векселетримачем і дисконт.

Розв’язок.

Маємо S=1500 грн., d=0,2, t=30 дн., К=360 дн.

грн., D=1500-1475=25 грн.

При наступі терміну векселя банк отримає по ньому 1500 грн. і, отже, реалізує дисконт.

За простими обліковими ставками може вестись і нарощення. З (15) знаходимо

(18)

Вираз називають множником нарощення за простою обліковою ставкою d.

Нарощення за обліковою ставкою йде швидше, ніж за простою відсотковою ставкою.

3. Визначення інших параметрів фінансових угод з простими ставками.

Іноді треба вирішувати обернені задачі знаходження і, n, d за відомими S та Р.

З формул (15), (4), (2) знаходимо:

(19)

якщо n вимірюється у роках.

Якщо термін угоди шукається у днях, то:

, (20)

(К=360,365,366) (К=360)

Можливі значення К дані під формулами.

Аналогічно з(2), (4), (15) знаходимо ставки:

(21)

або

(22)

(К=360,365,366) , (К=360)

Формули (21), (22) використовують при обчисленні доходності фінансових операцій.

Приклад 10.

Початкова сума боргу 10000 грн. Через 90 днів передбачається погасити 11000 грн. Визначити доходність операції для кредитора у простій відсотковій і простій обліковій ставці. Рік невисокосний.

Розв’язок.

За (22) знаходимо:

Приклад 11.

Яка тривалість позики у днях, щоб борг 1000 грн. зріс до 1100 грн. при нарахуванні 35% простих річних відсотків? Рік невисокосний.

Розв’язок.

За (20) знаходимо:

дні.

Зауважимо, що у фінансовому аналізі доходність операцій завжди вимірюється у річній відсотковій ставці (простій або складній). Якщо доходність знайдена у обліковій ставці, то результат треба перерахувати у річну відсоткову ставку.

4. Нарахування складних річних відсотків.

Складні відсотки використовуються тоді, коли відсотки одразу після нарахування не сплачуються, а приєднуються до суми боргу.

База для нарахування складних відсотків збільшується з кожним кроком у часі.

Нарощення за складними відсотками є послідовне реінвестування коштів, які вкладені на один період під простий відсоток.

Капіталізація відсотків - це приєднання відсотків до суми, яка є базою для нарахування в наступному періоді. Отже при застосуванні складних відсотків відбувається їх капіталізація.

В практичних питаннях застосовують дискретні складні відсотки. В теоретичних питаннях фінансового аналізу застосовують і неперервні відсотки.

Формула нарощення за складними відсотками має вигляд:

(23)

де : n - термін угоди у роках; Р - початковий борг; S - кінцева сума боргу; і - річна ставка складних відсотків.

Вираз зветься множником нарощення за складними відсотками. Для цілих і певних значень і він табулюється. Для інших значень (i,n) його треба обчислювати безпосередньо.

Якщо використовуються змінні з часом ставки, то нарощення відбувається за формулою:

(24)

яку корисно порівняти з формулою (6) нарощення за змінною простою ставкою.

Приклад 12.

Відсоткова ставка по позичці дорівнює 30% складних річних. В яку суму обернеться борг рівний 10000 грн. через 3 роки?

Розв’язок.

За формулою (23) знаходимо

грн.

Приклад 13.

Складний відсоток по позичці дорівнює 46% плюс маржа 4% в перші два роки і 5% в наступний рік. Знайти множник нарощення за 3 роки.

Розв’язок.

За (24) знаходимо

Зобразимо графічно швидкість зростання за простими і складними відсотками. Нехай ставка і однакова:

Отже, при 0<n<1,

при n>1,

Тобто, в межах року швидше зростають простi вiдсотки, за межами року - швидше зростають складнi вiдсотки.

Для порiвняння темпiв зростання знайдемо кiлькiсть рокiв збiльшення капiталу Р у N разiв при простих і складних вiдсотках. Із співвідношень

та знаходимо:

(25)

де ln - натуральний логарифм.

В частинному випадку при N=2 знаходимо кількість років подвоєння капіталу:

(26)

відповідно для складних і простих відсотків.