7. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
Случайными величинами наз. переменные, которые принимают те или иные значения, неизвестные заранее
X,Y,Z – случайные величины
x,y,z – значения случайных величин
Случайные величины:
а) дискретные – возможные значения которых есть отдельные изолированные числа.
б) непрерывные (напр, расстояние от точки попадания до центра мишени; или время работы эл.лампы)
Множество значений дискретных случ. вел. будет конечным или счетным.
Множество значений непрерывных случ. вел. – несчетное множество.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Пусть X – дискр.с.в., кот принимает n значений x1,x2…xn
Функция P(X), связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями наз. законом распределения случайной величины.
Как и любую ф-цию закон распределения можно задать
1) таблично:
X |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
P |
p1 |
p2 |
p3 |
… |
pn |
2) графически:многоугольник распредиления
3) аналитически, т.е. с помощью формулы:
1. Пусть X – число появления соб. А в n испытаниях, Р – вероятность появления, q=1-P – непоявления
-
биномиальное распределение
Можно задать таблицей: подставить вместо m=x, х[0..n]
M(X)=np; D(X)=npq;
Если
р мало, n
– велико(
),
то:
-
распределение
по закону Пуассона(закон
редких явлений)
M(X)=D(X)=λ
8. Интегральная функция распределения (функция распределения), свойства, график.
Функцией распределения (интегральным законом) с.в X наз. вероятность того, что Х примет значение < х
F(x)=P(X<x)
Эта функция является законом распределения с.в. Ее можно определить как для дискретной, так и для непрерывной с.в.
Для дискретной с.в. Х, принимающей значения х1, х2...хn ф-я распределения находится по формуле:
Свойства:
1. F(x) – ограниченная ф-я F(x)Є[0;1]
2. F(x) – неубывающая ф-я, т.е F(x1)<=F(x2) если x1<x2
Док-во: Пусть x1<x2. Тогда
F(x2) – F(x1) = P(X<x2) – P(X<x1) = P(x1<X<x2)>0
Следствия из (2):
1)
- вероятность
попадания с.в. Х в интервал [a;b]
2)Вероятность того, что Х примет значение a равна 0.
Р(Х=а)=0
3)
и
т.д.
3. Если возможные значения с.в.Х Є (a;b), то
F(x)=0 для x<=a
F(x)=1 для x>=b
Следствие: Если x→-∞, F(x) →0; x→∞, F(x) →1;
График: нарисовать любой
9. Дифференциальная функция распределения (плотность распределения), свойства, график.
(только для непрерывных с.в.)
Пусть
Х – непрерывная с.в., тогда F(x)
– непрерывная и дифференцируемая ф-я.
Дадим х приращение ∆х и рассмотрим
-
эта величина определяет среднюю
вероятность, приходящуюся на единицу
длины интервала.
- плотность распределения или дифференциальная функция распределения.
Св-ва:
1. Вероятность попадания с.в. Х в интервал (a;b):
Док-во:
т.к.
|ф-ла
Ньютона-Лейбница|=
2.
Док-во:
По
определению
3.
Док-во:
,но
F(x)
– неубывающая
4.
Док-во:
График плотности вероятности или дифференциальной ф-цией распределения называется кривая распределения. Из вышеперечисленных св-в:
нарисовать любую f(x)…