3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Зависимые и

независимые события.

Определение: Два события А и В, называются зависимыми если вероятность каждого из них меняется в связи наступления (не наступления) каждого из них, иначе они называются независимыми.

A₁, A₂,…,A_n наз. независимыми в совокупности, если каждая из них и любая комбинация остальных независима.

Определение: Вероятность события А, при условии, что событие В уже произошло, наз. условной вероятностью события А при условии В, т.е. P(A/B)=P_B(A)

Теорема умножения: вероятность совместного появления событий А и В

P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B), (если А и В независимы то, P(AB)=P(A)*P(B)

Следствия: 1) 2) если A₁, A₂,…,A_n независимые

Теорема сложения: вероятность появления хотя бы одного из совместных события А и В равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Чаще для определения вероятности используют переход на противоположное событие.

4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Теорема: Пусть событие А, может появиться только при выполнении одного из условий образующих полную группу событий B₁, B₂,…,B_n (т.е. они несовместны B_iB_j=Ø, т.е. ), их так же называют гипотезами, то его вероятность находиться по формуле -

формула полной вероятности.

Док-во: Из условия ясно что A=AB₁+AB₂+…+AB_n

P(A)=P(AB₁)+…+P(AB_n)=P(B₁)*P(A/B₁)+…+P(B_n)*P(A/B_n)

Теорема: Пусть событие А может появиться вместе с одним из событий образующих полную группу B₁, B₂,…,B_n Тогда вероятность каждой гипотезы после осуществления события A, находится по формуле - формула Байеса

Док-во: по теореме умножения

где Р(А) - формула полной вероятности

5. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Пусть проводиться n испытаний, в каждом из которых событие а может произойти или нет. Условия испытаний одинаковы, т.е. Пусть p – вероятность, что А появиться, а q вероятность, что не появиться =1-p

Найдём вероятность того, что событие А произойдёт m раз в n испытаниях.

Таких событий подобных В, когда событие А произойдёт m раз и не произойдёт n-m раз будет = числу сочетаний из n Эл-тов по m: . Все эти события B несовместны, а искомое событие будет равно их сумме.

Поэтому по теореме сложения и умножения имеем

6. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Функция Лапласа. Формула Пуассона.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность наступления события А постоянна и ≠ 0 и ≠ 1, и число испытаний n велико, то вероятность того, что соб. А в n-испытаниях получится m раз находится по формуле

1) - четная

2) φ(x) убывает, при х→∞ φ(x)=0

3) φ(x)=0 для всех х>4

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и ≠ 0 и ≠ 1, и число испытаний n велико, то вероятность того, что соб. А в n-испытаниях получится от m1 до m2 раз находится по формуле

Ф(x) – интеграл вероятности (функция Лапласа)

Формула Пуассона.

Если в каждом испытании вероятность Р(А) очень мала, а число испытаний велико, то P_n(m) находится по формуле Пуассона