1. Предмет теории вероятностей. Случайные события, частота. Статистическое и

геометрическое определения вероятности

Предметом теор вероятности явл изучение вероятностным законом массовых однородных случ. событий.

Опр: Случайными называются события, которые при совокупности условий могут произойти или нет.

Совокупность условий, при которых случайные события могут произойти или нет, называются опытом или испытанием. A,B, C, … - случ. события

Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями ω

Множество всех элементарных событий, называется пространством элемент. событий. Ω ={ω} Может быть без/конечным

Опр: Событие назыв. невозможным, если оно заведомо не произойдёт в результате опыта.

Событие назыв. достоверным, если она обязательно произойдет в результате опыта.

Два события наз. несовместными, если в результате опыта, возникновение одного, исключает появление второго, и наоборот совместными.

События A₁, A₂,…,A_n наз. попарно несовместными, если любые 2 из них несовместны.

Несколько событий образуют полную группу событий, если они: 1) попарно несовместны; 2) в результате каждого опыта, происходит только одно из них.

Два события наз. равновозможными, если они имеют одинаковые возможности появиться.

Опр: Относительной частотой назыв. отношение числа появления события А к общему числу проводимых испытаний. P*(A)=m/n;

Свойства: 1)P*Є[0;1]; 2) P*(Ω)=1;

3) P*(A+B)=P*(A)+P*(B), А и В несовместны;

4) P*(Ø)=0

Относительная частота так же обладает свойством статистической устойчивости: с увеличением испытаний, относительная частота принимает значения близкие к одному и тому же числу.

Это позволяет приписать каждому случайному событию свойственную ему вероятность, как меру объективной возможности осуществления этого события.

Статистическое определение вероятности. За вероятность случайного события принимается число, около которого колеблется частота при достаточно большом количестве испытаний.

Геометрическое определение вероятности: применяется тогда когда исходы опытов равновозможные, а Ω бесконечное несчётное множество. Задачу можно свести к бросанию точки на конечную часть прямой, плоскости или пространства. В область G бросается на удачу точка, предположим, что точка может попасть в любую часть области G, и вероятность её попадания в любую часть G пропорциональна S_G и не зависит от её формы и расположения. Тогда определим вероятность попадания точки в область g. P=S_g/S_G

2. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Классическое определение вероятности.

Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями. ω

Множество всех элементарных событий, называется пространством элемент. событий. Ω ={ω} Может быть без/конечным

Несколько событий образуют полную группу событий, если они: 1) попарно несовместны; 2) в результате каждого опыта, происходит только одно из них.

Два события назыв. равновозможными, если они имеют одинаковые возможности появиться.

1. Объединением (суммой ) А и В назыв. С, наступление которого, происходит при наступлении хотя бы одного из событий А или В.

2. Пересечением (произведением) А и В, назыв. С состоящее в совместном появлении события А и В.

3. Разностью А и В, называется событие когда произошло A и не произошло В. А\В

4. Дополнением к событию А, назыв. противоположным к событию А.

5. Если событие А влечет за собой событие В, то

6. Если А и В несовместны, то

7. Если A₁, A₂,…,A_n полная группа событий, то

1) 2)

Свойства операций: 1) Переместительный A+B=B+A; 2) Сочетательный AB=BA; 3) Распределительный A(B+C)=AB+AC; 4) 5) 6) 7)

Классическое определение вероятности: пусть производиться испытания с n исходами, которые образуют полную группу независимых равновозможных событий

1) 2)

3) P(ω₁)=…=P(ω_n)

Такие элементарные события часто называют шансами или случаями, а опыт классическим. Можно свести к схеме урн. Различные случайные события связанные с этими испытаниями, являются . Элементарные события относящиеся к подмножеству А, нызв. благоприятствующими этим событиям.

Вероятность события А называется отношение благоприятствующих событий m к числу общих событий n. . Свойства: 1) ; 2) ; 3) P(A+B)=P(A)+P(B), А и В несовместны;

4)