15. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке ab? в треугольнике abc?

Геометрический подход заключается на предположении, что попадание каждой точки в геометрическом множестве( ), а в какое-то подмножество А . Вероятность Р(А) пропорциональна мере (длин, площади и т.д.) множества А, т.е. Р(А)= с (А) ), где (А)-мера множества А, а с=const. Т.к. P( )=1, то с = 1/ ( ), так что Р(А)= .

1) - АВ, F-отрезок СD, СD АВ. - длина, (CD)=d-c, (BA)=b-a, значит

Р(А)= . 2) -треугольник АВС, F-фигура . (F)=площадь F, ( )-площадь АВС. Р(F)=площадь F/ площадь ABC.

24. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса r? в кубе со стороной a?

Геометрический подход заключается на предположении, что попадание каждой точки в геометрическом множестве( ), а в какое-то подмножество А .Вероятность Р(А) пропорциональна мере (длин, площади и т.д.) множества А, т.е. Р(А)= с (А), где (А)-мера множества А, а с=const. Т.к. P( )=1, то с = 1/ ( ), так что Р(А)= .

1) - круг с радиусом r; F – фигура ; (F)=площадь F

( )=площадь

P(F)=площадь F/площадь круга радиуса r 2) P(F)=объем F/ объем круга

25. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события ав, и не образуют полной группы событий.

Полная группа событий - это система случайных событий такая, что в результате произведённого случайного эксперимента непременно произойдёт одно из них.

АВ, А*В, А*+В* (чёрточка одна на А и В)-не образуют полной группы событий. А*+В*(чёрточка одна на А и В)=А*В*

Полную группу событий составляют: АВ, А*В, АВ*, А*В*

Сл-но АВ, А*В, А*В* - не образуют полной группы.

Пример: студент сдаёт 2 зачёта, соб.А- сдан 1 зачёт, соб.В- сдан 2 зачёт, Р(А)=1/2, Р(В)=2/3

Р(АВ+А*В+А*В*)≠1, т.к. Р(АВ*)≠0, сл-но соб. АВ, А*В, А*+В* (чёрточка одна на А и В)-не образуют полной группы.

26. Верно ли, что события образуют полную группу для любых событий а и в? Ответ обоснуйте.

Да, события образуют полную группу событий для любого А и В, т.к. они попарно несовместны и при каждом осуществлении опыта обязательно наступит хотя бы одно из них. (проиллюстрировать рисунком)

27. Событие A влечет событие B. Верно ли, что P(A) + P(AB) + P(B) =1? Дайте обоснованный ответ.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления A const, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абс величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико. x_i-число появлений событий в i-м испытании (i=1…n). Каждая из величин может принимать 2 значения: 1 с вер-ю р, 0 с вер q

x_i- попарно независ., тогда D(x_i)=pq. Т.к. p+q=1, то pq 1/4 дисперсии огранич с=1/4

Применим т. Чебышева, получим

Матем ожидание а каждой из величин x_i = р наступл. событ.

Каждая x_i при появлении события в соотв. испытании принимает значение = единице x₁+x₂+…+x_n= m появлен. события в n испытаниях ( x₁+x₂+…+x_n)/n= m/n.

Учитывая это, получим,

28. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,В3 ,…., Вn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Р в2 (А), …., Рвn (А) события А. Найдем вероятность события А.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,…,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Рв2(А) +….+ Р(Вn) Рвn(А).

Эта формула называется «формулой полной вероятности».

Докажем ее…

По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1,В2,…,Вn. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А,…, ВnА. Пользуясь для вычисления события А теоремой сложения, получаем Р(А) = Р(В1А) + Р(В2А) +….+ Р(ВnА) (1)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем: Р(В1А) = Р(В1) Рв1(А); Р(В2) Рв2(А): …. Р(ВnА) = Р(Вn) Р( bn) (А)

Подставляем правые части этих равенств в соотношение (1) и получаем формулу полной вероятности: Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А)

Приведем пример использования формулы полной вероятности:

Допустим, у нас есть два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найдем вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Пусть А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие В1), либо из второго (В2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р(В1) =1/2, вероятность, что деталь вынута из второго набора, Р(В2) = 1/ 2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, Рв1 (А) =0,8, условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь Рв2(А) =0,9.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) = 0,5*0,8 + 0,5*0,9 = 0,85.