4. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. Величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство: 32

5. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что D (X) = . 32

67. Как определяется ковариация Cov(X,Y) случайных величин X,Y?Докажите, что D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y). 32

6. Сформулируйте основные свойства ковариации Cov(X,Y) случайных величин Х и У. Докажите, что Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 33

7. Как определяется коэффициент корреляции ρ (X;Y) случайных величин X иY ? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о X и Y , если ׀ρ(X;Y) ׀ =1? 33

70. Чему равен и Cov при условии независимости случайных величин ? Что можно сказать о , если , где и – некоторые числа ? Ответ обоснуйте. 34

8. Дайте определение непрерывной случайной величины . Чему в этом случае равна вероятность , где – определенное число? Следует ли из равенства для непрерывной случайной величины , что событие никогда не наступает? 34

9. Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности ? Ответ обоснуйте. 35

10. Перечислите основные свойства функции плотности вероятности. Чем объясняется название «плотность вероятности»? 36

11. Как определяется показательный закон распределения с параметром ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и . 37

12. Как определяется равномерный закон распределения на отрезке ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и . 38

76. Возможно ли равномерное распределение на всей числовой оси? Чему равна вероятность для равномерно распределенной на отрезке случайной величины ? Рассмотрите случаи: 1) и 2) 39

77. Как определяется нормальный закон распределения на прямой? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и приведите формулу для вычисления вероятности . 39

78. Запишите плотность распределения нормальной случайной величины , для которой . Как изменится график плотности распределения, если: а) увеличится б) увеличится ? 39

79. Как вычисляется математическое ожидание в случае распределения с плотностью ? Может ли для какой-либо абсолютно непрерывной случайной величины не существовать математического ожидания? Ответ обоснуйте. 41

82. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра в формуле для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону. 42

83. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра в формуле для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону. 43

84. Докажите, что для случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром , математическое ожидание 43

85. Случайная величина равномерно распределена на отрезке Можно ли для любых и подобрать параметры и так, чтобы ? Как по и найти и ? 43

86. Что такое правило для нормального распределения? Верно ли, что для любой нормальной случайной величины существует отрезок для которого ? Ответ обоснуйте. 44

Начальные и центральные моменты случайных величин 44

87. Сформулируйте определение начальных и центральных моментов случайной величины. Докажите, что если и – независимые случайные величины, то 44

88. Пусть – начальные, а – центральные моменты некоторой случайной величины. Докажите, что и 45

89. Сформулируйте определение асимметрии случайной величины и укажите ее основные свойства. Что характеризует асимметрия случайной величины? 45

90. Сформулируйте определение эксцесса случайной величины и укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения? 46

92. Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора и дайте его геометрическую интерпретацию. 46

93. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора и приведите пример двумерной функции распределения. 47

94. Какой случайный вектор называется абсолютно непрерывным? Укажите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Как можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора, если известна его функция распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в круге радиуса . 47

95. Как найти функцию распределения двумерного случайного вектора , если известна функция плотности распределения ? Укажите функцию распределения для случайного вектора равномерно распределенного в прямоугольнике со сторонами и . 48

96. Как найти функции плотности и компонент и , если известна функция плотности двумерного распределения ? Приведите пример двумерной функции плотности и найдите плотности компонент. 49

97. Как можно найти функцию плотности распределения случайного вектора с независимыми компонентами и , если известны их плотности распределения и ? Будут ли независимыми компоненты случайного вектора , равномерно распределенного в прямоугольнике ? Ответ обоснуйте. 49

98. Как можно найти функцию распределения, F_XY(x,y) случайного вектора (X,Y) с независимыми компонентами X и Y , если известны их функции распределения F(x)X и F(y)Y? Ответ обоснуйте. 50

Числовые характеристики случайного вектора 50

99. Как найти математическое ожидание функции φ(X,Y) , где X,Y – компоненты случайного вектора (X ,Y) ? Как определяются начальные ν_{k ,l} и центральные μ_{k ,l} моменты случайного вектора (X ,Y)? 50

100. Каков смысл начальных ν 0,1 , ν 1,0 и центральных μ 1,0 μ 0,1 μ 1,1, , моментов двумерного случайного вектора (X,Y) ? Ответ обоснуйте. 51

101. Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин Х1,Х2…Хn и сформулируйте их основные свойства. 52

102. Как найти ковариацию Сov(X,Y) случайных величин X и Y , если известна функция плотности двумерного распределения (X;Y)? Верно ли, что из равенства Сov(X,Y)=0 вытекает независимость X и Y , если (X;Y) – двумерный нормальный случайный вектор? 53

103. Укажите формулу для плотности распределения случайной величины Y +X= Z , если ( X,Y) – двумерный случайный вектор с функцией плотности f(x,y) и независимыми компонентами X и Y . Приведите пример ее применения. 53

104. Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин X и Y? 54

105. Сформулируйте определение условной ф-ии распр СВ Х при усл Y=y. Как определяется условная плотность f(y|x) распределения? Чему равна f(y|x), если СВ X и Y независимы? 54

106. Как определяется условное математическое ожидание непрерывной случайной величины Y при условии X = x и математическое ожидание случайной величины X при условии Y = y? Докажите, что E(E(X |Y))= E(X ) и E(E(Y | X ))= E(Y). 55

107. Сформулируйте и докажите неравенство Чебышева. 55

109. Сформулируйте и докажите теорему Чебушева для бесконечной последовательности случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными одним и тем же числом. 56

110. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли (закон больших чисел) 58

111. Сформулируйте центральную предельную теорему. Укажите примеры ее применения. 58

112. Сформулируйте центральную предельную теорему для одинаково распределенных случайных величин и приведите пример ее применения. 59

113. Используя центральную предельную теорему, обоснуйте интегральную формулу Лапласа. 60