4.Докажите, что для биномиального закона распределения сл. Величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:

=

5.Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что D (X) = .

67. Как определяется ковариация Cov(X,Y) случайных величин X,Y?Докажите, что D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).

1.Ковариацией COV(X,Y) случайных величин X,Y называется математическое ожидание произведения отклонений X и Y.

Сov(X,Y)=E[(X-E(X)][Y-E(Y)]

2. Пусть Х и У – две случайные величины. Положим, Z=X+Y По теореме сложения математических ожиданий будем иметь: М(Z)=E(X)+E(Y). Вычитая это равенство из предыдущего, получим: , где обозначает, как и раньше, отклонение величины Х. Отсюда = Найдем дисперсию Х+У. Имеем D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E( ), где М( ) = Cov(X,Y).

Формула принимает вид: D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2Cov(X,Y)

6.Сформулируйте основные свойства ковариации Cov(X,Y) случайных величин Х и У. Докажите, что Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(X, Y) случайных величин X, Y называется мате-матическое ожидание произведения отклонений X и Y

Cov(X, Y) = E[(X − E(X))(Y − E(Y))].

Ковариация обладает следующими свойствами:

1. 1. Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y).

2. 2. Cov(X, X) = D(X).

3. 3. D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).

4. 4. Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

5. 5. Cov(X, Y) = Cov(Y, X).

6. 6. Cov(aX , Y) = Cov(X, aY) = aCov(X, Y).

7. 7. Cov(X +Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z).

8. 8. Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).

Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными.

Нет доказательства!!!!!!!!!!!!!!

7.Как определяется коэффициент корреляции ρ (X;Y) случайных величин X иY ? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о X и Y , если ׀ρ(X;Y) ׀ =1?

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y определяется формулой ρ (X;Y)= Cov(X;Y)/ (σ(X)*σ(Y)), где Cov(X;Y) – ковариация X и Y, а σ(X) – среднее квадратичное отклонение Х, σ(Y) – среднее квадратичное отклонение Y.

Основные св-ва:

1. ρ(X;Y)=ρ(Y;X)

2. ׀ρ(X;Y) ׀ <=1

3. ׀ρ(X;Y) ׀ =1 равнозначно существованию констант a,b таких, что равенство Y=a+bX выполняется с вероятностью 1.

70. Чему равен и Cov при условии независимости случайных величин ? Что можно сказать о , если , где и – некоторые числа ? Ответ обоснуйте.

Если X и Y независимые случайные величины, то Cov(X, Y) = E(X,Y) – E(X)E(Y) = E(X)E(Y) - E(X)E(Y) = 0

Если (β≠0), то

Док-во: Cov(X,Y) = Cov(X, α + βX) = E (X(α+βX)) – E(X)E(α+βX) = E(Xα+βX²) - E(X)(E(α) + E(βX)) = E(Xα) + E(βX²) – αE(X) – β(E(X))² = β(E(X²) – (E(X))²) = βD(X)

тоесть ч.т.д.

8.Дайте определение непрерывной случайной величины . Чему в этом случае равна вероятность , где – определенное число? Следует ли из равенства для непрерывной случайной величины , что событие никогда не наступает?

Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(X) непрерывна в любой точке X. P(X=a), где а – определённое число, есть вероятность каждого и отдельного значения. P(X=a)=0, т.е. вер-ть каждого отдельного значения равна нулю. Однако это не означает, что событие Х=а невозможно. В результате испытания случ. величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным а.

9.Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности ? Ответ обоснуйте.

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если найдется неотрицательная функция f(x), называемая плотностью распределения, такая, что для a < b вероятность попадания X в промежуток [a, b] получается путем интегрирования данной функции

Для функции распределения F(x) имеем

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. 1. , (неотрицательность).

2. 2. (условие нормировки).

3. 3. в точке непрерывности f(x).

Математическое ожидание непрерывной функции находится пу-тем интегрирования произведения данной функции и плотности распределения:

Произвольная случайная величина X называется сосредоточенной на промежутке [a, b], если вероятность попадания X в данный промежуток равна 1.

Плотность распределения абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], равна 0 вне [a, b].

Функцию распределения F(x) абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], можно представить в виде