- •Оглавление
- •1. Схема Бернулли 20
- •2. Дискретные случайные величины 24
- •4. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. Величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство: 32
- •Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определяется событие, противоположное данному? Приведите примеры.
- •Что называется суммой и произведением событий а и в? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случай наступления события
- •Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их ве-роятности? Пусть a, b и c – случайные события. Перечислите все случаи наступления события .
- •В каком случае событие в называют следствием события а? Какие события называются равными? Объясните, почему .
- •Пусть а и в – случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию .
- •Докажите, что . Что означает событие ?
- •Дайте определение условной вероятности и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2)
- •Как соотносятся понятия независимые события а и в и несовместные события а и в? Следует ли из независимости событий а,в,с независимость событий ав и ? Почему?
- •В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке ab? в треугольнике abc?
- •24. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса r? в кубе со стороной a?
- •25. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события ав, и не образуют полной группы событий.
- •26. Верно ли, что события образуют полную группу для любых событий а и в? Ответ обоснуйте.
- •28. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.
- •1.Схема Бернулли
- •30. В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.
- •40. Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения.
- •2.Дискретные случайные величины
- •42. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайной величины и продемонстрируйте их на примере.
- •46. Что называется геометрическим распределением с параметром ? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром .
- •48. Какой закон распределения называется законом Пуассона? в чем состоит связь этого закона с предельной теоремой Пуассона (приближенной формулой Пуассона)?
- •50. Пусть – независимые случайные величины, принимающие с вероятностью значения 0 и 1. Верно ли, что и – независимые случайные величины? Ответ обоснуйте.
- •52. Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин?
- •53. Приведите (с обоснованием) пример дискретного распределения вероятностей, для которого не существует математическое ожидание.
- •54. Может ли математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей целые значения, быть числом нецелым? Ответ обоснуйте.
- •55. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание . Докажите, что .
- •58. Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X ? Перечислите основные свойства дисперсии.
- •4.Докажите, что для биномиального закона распределения сл. Величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:
- •70. Чему равен и Cov при условии независимости случайных величин ? Что можно сказать о , если , где и – некоторые числа ? Ответ обоснуйте.
- •10.Перечислите основные свойства функции плотности вероятности. Чем объясняется название «плотность вероятности»?
- •11.Как определяется показательный закон распределения с параметром ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и .
- •12.Как определяется равномерный закон распределения на отрезке ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и .
- •76. Возможно ли равномерное распределение на всей числовой оси? Чему равна вероятность для равномерно распределенной на отрезке случайной величины ? Рассмотрите случаи: 1) и 2)
- •78. Запишите плотность распределения нормальной случайной величины , для которой . Как изменится график плотности распределения, если: а) увеличится б) увеличится ?
- •82. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра в формуле для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону.
- •90. Сформулируйте определение эксцесса случайной величины и укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения?
- •92. Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора и дайте его геометрическую интерпретацию.
- •93. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора и приведите пример двумерной функции распределения.
- •98. Как можно найти функцию распределения, fxy(X,y) случайного вектора (X,y) с независимыми компонентами X и y , если известны их функции распределения f(X)X и f(y)y? Ответ обоснуйте.
- •Числовые характеристики случайного вектора
- •99. Как найти математическое ожидание функции φ(X,y) , где X,y – компоненты случайного вектора (X ,y) ? Как определяются начальные νk ,l и центральные μk ,l моменты случайного вектора (X ,y)?
- •100. Каков смысл начальных ν 0,1 , ν 1,0 и центральных μ 1,0 μ 0,1 μ 1,1, , моментов двумерного случайного вектора (X,y) ? Ответ обоснуйте.
- •101. Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин х1,х2…Хn и сформулируйте их основные свойства.
- •104. Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин X и y?
- •107. Сформулируйте и докажите неравенство Чебышева.
- •109. Сформулируйте и докажите теорему Чебушева для бесконечной последовательности случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными одним и тем же числом.
- •110. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли (закон больших чисел)
- •111. Сформулируйте центральную предельную теорему. Укажите примеры ее применения.
- •112. Сформулируйте центральную предельную теорему для одинаково распределенных случайных величин и приведите пример ее применения.
- •113. Используя центральную предельную теорему, обоснуйте интегральную формулу Лапласа.
Оглавление
1. Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определяется событие, противоположное данному? Приведите примеры. 7
2. Что называется суммой и произведением событий А и В? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случай наступления события 7
3. Что называется пространством элементарных событий? Что называется случайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события А? Что называется вероятностью события А? Приведите примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элементарными следующие события: А – выпадение числа очков, меньших 2; В – выпадение более 2 очков? 9
4. Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их ве-роятности? Пусть A, B и C – случайные события. Перечислите все случаи наступления события . 10
5. В каком случае событие В называют следствием события А? Какие события называются равными? Объясните, почему . 10
6. Пусть А и В – случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию . 11
7. Докажите, что . Что означает событие ? 11
8. Докажите, что =++…..+. Что означает событие АА+ А А+ А А? 11
9. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию ? Возможны случаи Р=0 и Р=1? Ответ обоснуйте. 12
10. Какие соб.A1,A2,…An называются попарно несовместными? Сформулируйте правило сложения вер-тей для попарно несовместных соб. A1, A2, …An. Приведите пример попарно несовместных событий A,B, и C, таких что P(A+B+C)<1? 12
11. Объясните, почему Р(А+В)≤Р(А)+Р(В) для событий A и B. Чему равна сумма P(A)+P() вероятностей противоположных событий? Ответ обоснуйте. 13
12. Верно ли, что если событие A является следствием события B,то P(A) ≤ P(B)? Ответ обоснуйте. 13
13. Дайте определение условной вероятности и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2) 13
14. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий A и В? Для любых А и В? Запишите правило умножения вероятностей для трех (зависимых) событий A,B и C. Приведите примеры применения соответствующих формул. 14
15. Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события A, В, С означают: А – на первой монете выпал герб; B – на второй монете выпал герб; C – обе монеты упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события? Почему? 14
16. Как соотносятся понятия независимые события А и В и несовместные события А и В? Следует ли из независимости событий А,В,С независимость событий АВ и ? Почему? 15
17. События А и независимы, события А и также независимы. При этом события В и С несовместны. Следует ли из этого, что события А и В+С независимы? Ответ необходимо обосновать. 15
18. Как определяется независимость событий А1,А2,……,Аn , в случае если n>2? Является ли равенство Р(А1А2А3)=Р(А1)*Р(А2)*Р(А3) достаточным для независимости событий А1,А2,А3? Ответ обоснуйте 15
19. Имеется две игральные кости: одна-симметричная, вторая-несимметричная. Пусть р-вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, р=1/6. 16
20. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке AB? в треугольнике ABC? 16
24. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса r? в кубе со стороной a? 16
25. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события АВ, и не образуют полной группы событий. 17
26. Верно ли, что события образуют полную группу для любых событий А и В? Ответ обоснуйте. 17
27. Событие A влечет событие B. Верно ли, что P(A) + P(AB) + P(B) =1? Дайте обоснованный ответ. 18
28. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения. 19