Сведение задач второго типа к задачам математического программирования

Почти все задачи третьего типа легко сводятся к задачам параметрической оптимизации, эти два понятия можно считать тождественными, но этого нельзя сказать о задачах второго типа, связанных с поиском наилучших технических решений для заданного. Связанных с поиском наилучших технических решений для заданного физического принципа действий, поэтому для задач второго типа наряду с понятием технического решения существует понятие структуры технической системы, задачи второго типа, приведенные к задачам математического программирования, являются задачами структурной оптимизации. Строгое определение понятия структуры технической системы затруднительно, поэтому укажем лишь некоторые инженерные и математические свойства, связанные с понятием структуры. С инженерной точки зрения разные структуры рассматриваемого класса технических систем различаются числом элементов, самими элементами, их компоновкой, характером соединения между элементами и т.д.

Понятие структуры в большой мере аналогично понятию техническое решение.

Во-первых, в рамках заданного физического принципа действия обычно существует более широкое множество технических решений, по сравнению с множеством которое можно формально описать при постановке и решении задачи структурной оптимизации, во-вторых между отдельными техническими решениями существует различие по конструктивным признакам, которое является более серьезным, чем различия между отдельными структурами.

Допустим имеется мост с решеткой в виде равнобедренных треугольников (варианты: более крупные и более мелкие треугольники), расстояние между опорами одинаковое. Эти формы имеют одинаковое техническое решение, но разные структуры. Для заданного физического принципа действия множество возможных технических решений и множество возможных структур пересекаются, но, как правило, не совпадают, при этом одно техническое решение можно представить несколькими близкими структурами.

Напомним постановку задачи структурной оптимизации: постановка задачи структурной оптимизации начинается с определения набора переменных по следующей методике:

1) Задают такие переменные, чтобы они могли, по возможности, описать множество всех рациональных структур S, которые в состоянии оценить существующая мат модель в рассматриваемом классе технических объектов.

2) Строится набор переменных, вектор A, описывающих множество структур S, например A(k, l , Y[i], Z[j], V[ij], W)/

k – число элементов в структуре

l – число способов соединения Эл-ов

Y[i] – вектор, описывающий геометрические, физические и другие свойства i-го элемента, где i меняется от 1 до k.

Z[j] – вектор, описывающий геометрические, физические и другие свойства j-го способа соединение j=1..l.

W[ij] – вектор, характеризующий положение i-го элемента в пространстве при j-ом способе соединения

W – Другие переменные.

3) Из набора A выделяют два вектора, но прежде всего A’ – вектор независимых переменных, которыми можно варьировать при поиске оптимальной структуры, все остальные элементы являются зависимыми и для них задают алгоритм их определения через независимые.

4) Вектор A’ разделяют на два вектора: первый вектор обеспечивает изменение структуры, а второй вектор позволяет решать задачи параметрической оптимизации для заданной структуры.

рассмотрим постановку задачи структурной оптимизации.

Допустим, имеется алгоритм выбора из множества S подмножества всех допустимых структур {S1, S2, ... ,Sm}. Под допустимой структурой здесь подразумевают структуру, у которой существует хотя бы один набор значений параметров, удовлетворяющих заданным ограничениям. Допустим также, что для любой структуры Sj можно решить задачу параметрической оптимизации, то есть задать пространство переменных (1) X[j]=(x[i,j],x[2,j], ... x[nj,j]) j=1..m Можно задать пространство переменных 1 и по единому критерию качества найти оптимальное значение параметров структуры Sj, как (2) X*j, тогда задача структурной оптимизации может иметь следующую формулировку.

Имеем m параллелепипедов размерности nj вида (3) a[i,j]<=x[i,j]<=b[i,j] j=1..m i=1..nj. Характер изменения переменных может быть как непрерывным так и дискретным. Для каждого из параллелепипедов заданна, по единому критерию качества, целевая функция (4) Fj(Xj) и ограничений (5) q[r,j](xj)>=0 r=1..pj

Требуется найти точку X*j*, принадлежащую j* параллелепипеду, для котрой выполняются условия (6) q[r,j*](X*j*)>=0 и (7) F*(X*j)=minFj(Xj*) 1<j<=m.