- •Множини, способи їх задання. Дії над множинами. Означення раціонального числа. Ірраціональність 2. Означення дійсного числа. Аксіома неперервності множини дійсних чисел r.
- •Числові множини. Обмежені множини. Точна верхня і точна нижня грані. Теорема про існування точної верхньої грані.
- •Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.
- •Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.
- •Монотонні послідовності. Теореми про монотонність границі, про три послідовності.
- •Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності. Критерій Коші. Число e.
- •Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці. Границя limx0(sinx/X).
- •Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості. Нескінченно великі функції.
- •Неперервність функції в точці. Теореми про запас неперервних функцій, про композицію неперервних функцій. Точка розриву. Типи точок розриву.
- •Локальні властивості неперевних функцій.
- •1. Локальна обмеженість:
- •2. Стійкість знаку:
- •Властивості неперервних функцій на відрізку.
- •Монотонні функції. Обернена функція. Теорема про неперервність оберненої функції. Теорема Больцано.
- •Рівномірна неперервність функції на множині. Теорема Кантора.
- •Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.
- •Білет 17. Похідна оберненої функції, та функції заданої параметрично.
- •Диференційовність функції в точці. Зв’язок між диференційовностью та існуванням похідної. Диференціал функції. Властивості диференціала.
- •Теореми Ферма та Ролля.
- •Теореми Коші, Лагранжа про середне значення.
- •Перше правило Лопіталя. Друге – сформулювати. Означення невизначенностей. Порівняння росту.
- •Формула Тейлора.
- •Критерій монотонності функції. Означення локальних екстремумів. Необхідна умова локального екстремуму.
- •Перша та друга достатні умови локального екстремуму.
- •Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.
- •Простір Rn. Приклади множин в Rn. Послідовності в Rn. Теорема про збіжність послідовності в Rn. Теорема Больцано- Вейерштрасса в Rn.
- •Непервні функції n – зміннмх в точці (означення). Властивості неперервнмх функцій n – зміннмх (локальні, арифметичні, композиція - довести).
- •Замкнуті та відкриті множини в Rn. Компакти. Перша та друга теореми Вейєрштрасса про неперервні функції на компактах .
- •Частинні похідні. Диференційовність функції n – зміних. Геометричний зміст диференційовності функції двох змінних. Необхідна умова диференційовності функції n-зміних.
- •Достатня умова диференційовності функції n-зміних. Похідна складної функції.
- •Диференціал функції функції n-зміних.
- •Частинні похідні вищих порядків. Теорема про мішані похідні.
- •Диференціали вищіх порядків. Формула Тейлора. Локальна Формула Тейлора – Пеано.
- •Означення локальних екстремумів функції n- змінних. Необхідна умова локального екстремуму. Достатня умова локального екстремуму.
- •Функції задані неявно. Теорема про неявну функцію. Дотична і нормаль до поверхні, заданої неявно.
- •Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.
- •Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.
- •Теорема Безу. Основна теорема алгебри. Теорема про розклад полінома на множники над полем c.
- •Теорема про розклад полінома на множники над полем r.
- •Ріціональні функції. Теорема про розклад раціональної функції на елементарні дроби. Інтегрування елементарних функцій I та II типу на прикладі.
- •Лінійний простір. Базис, координати та вимірність простору. Теорема про заміну бізиса. Приклад: поворот системи координат.
- •Теорема про заміну базиса
- •Лінійні відображення. Властивості лінійних відображень. Побудова матриці лінійного відображення. Дія лінійного відображення на координати. Перетворення матриці при заміні базиса.
- •Власні числа і власні вектори лінійного оператора. Характеристичний полином лінійного оператора.
- •Діагоналізація матриці лінійного простора. Критерій діагоналізації. Достатня умова приведення матриці до діагонального виду.
- •Евклідові простори. Теорема про існування ортонормованого базиса евклідового простору. Властивості ортонормованих базисів.
- •Ортогональні матриці та їх властивості. Квадратичні форми: зведення до канонічного виду методом Лагранжа.
- •Квадратичні форми і зведення до канонічного виду методом ортогональних перетворень.
Рівномірна неперервність функції на множині. Теорема Кантора.
Означення: функція f(x) задана на числовій множині M називається рівномірно неперервною на множині M, якщо >0 () і тільки від , що x1,x2 M x1-x2< f(x1)-f(x2)<
Теорема Кантора: кожна функція, що неперервна на відрізку [a; b] є рівномірнонеперервною на цьому відрізку.
Доведення: Припустимо, що f(x) неперервна на [a; b], але не буде рівномірнонеперервною, це означає, що виконується заперечення до цього означення 0>0 (0) x1,x2[a; b] x1-x2< f(x1)-f(x2)0 візьмем = 1/2, 1/3, 1/4,…1/n. Тоді для = 1/n xn,yn xn-yn<1/n, але f(xn)-f(yn)0, a xn,yn b – послідовності xn і yn обмежені тому за теоремою Больцана-Вейерштрасса з них можна вибрати збіжні підпослідовності
(xn) xnj x0 x0 [a; b]
j + xnk x0
(ynj) ynk y0 y0 [a; b] ynk y0
k
xnk - ynk <1/nk 0 x0 = y0
xnk x0 f(xnk) f(x0)
ynk y0 f(ynk) f(y0) f(xnk) - f(ynk) 0, при k 00>0
таким чином наше припущення було невірним.
Білет 16.
Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.
Означення: нехай функція f(x) визначенна в околі точки x0 тоді похідною функції f(x) в точці x0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргумента в цій точці, за умови, шо приріст аргументу прямує до 0. f( x0) =(df / dx)x0 = Df(x0).
Означення: лівою похідною в точці x0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що прирост аргументу прямує до 0 зліва.
f-( x0) = limh0-0( ( f(x0+h)-f(x0) )/h ) = lim x0-0 ( f/x ) x0
Аналогічне означення правої похідної f+( x0).
Теорема: якщо функція f(x) має похідну в точці a то вона неперервна в цій точці.
Доведення: нехай f(x) має похідну f(x) = limxa( ( f(x)-f(a) )/(x-a) ) ( f(x) – f(a) )/(x-a) = f(a) + (x), де (x) 0, коли xa f(x)-f(a) = f(a)(x-a)+(x)(x-a). Перейдемо до границі.
limxa( f(x) – f(a) ) = limxaf(x)(x-a)+ limxa(x)(x-a) = 0 + 0 = 0 lim xaf(x) = f(a).
Правила диференціювання:
Теорема: якщо функції f(x) і g(x) мають похідну в точці x, то:
1. (f+g)(x) = f(x) + g(x)
2. (cf)(x) = cf(x)
3. (fg)(x) = f(x)g(x) + g(x)f(x)
4. (f/g)(x) = ( f(x)g(x) - g(x)f(x) )/g2(x)
Доведення: 1 та 2 випливає з того що границя суми двох функцій дорівнює сумі границь, а константа виноситься за знак границі.
Доведемо 3.
(fg)(x) = f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x) = f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x+h)+ f(x)g(x+h) – f(x)g(x) = ( f(x+h) – f(x) )g(x+h) + f(x)( g(x+h) –g(x) ) поділимо на h ліву і праву частину рівності і спрямуємо h до 0.
(fg)(x) / h = ( f(x+h) – f(x) )/hg(x+h) + f(x)( g(x+h) –g(x) )/h оскільки g(x) має похідну в точці x, то вона і неперервна в точці x, тому має місце рівність limh0g(x+h) = g(x), отже маємо f(x)g(x)+f(x)g(x).
Доведемо 4.
Доведемо для випадку (1/g)(x) = -g(x)/g2(x)
Розглянемо приріст (1/g)(x) = 1/g(x+h) – 1/g(x) = ( g(x)-g(x+h) )/ (g(x+h)g(x)) поділимо ліву і праву частину на h0 маємо: (1/g)(x)/h = - ( g(x+h) – g(x) )/h1/( g(x+h)g(x) ) - g(x)( 1/(g(x)g(x) ) ) = -g(x)/g2(x).
(f/g)(x) = (f 1/g)(x) = f(x) (1/g(x))+f(x)(1/g)(x) = f(x)/g(x) + f(x)(-g(x))/g2(x) =( f(x)g(x) – f(x)g(x) )/g2(x).