Діагоналізація матриці лінійного простора. Критерій діагоналізації. Достатня умова приведення матриці до діагонального виду.

Матриця називається діагональною, якщо на головній діагоналі числа, а на решті 0.

Теорема: для того щоб матриця оператора A в де-якому базисі B була діагональною необхідно і достатньо щоб вектори базиса були власними векторами A. При чому на головній діагоналі будутьстояти власні числа, що відповідають власним векторам.

Доведення:

Ae₁ = a₁₁e₁ + … + a_n1e_n

………………………..

Ae_n = a_1ne₁ + … + a_nne_n

 ₁ 0 … 0 

[A] =  0 ₂ … 0  a₁₁ = ₁; a₂₁ = … = a_n1 = 0  Ae₁ = ₁e₁

 0 0 … _n Аналогічно для інших рядків

Ae_k = _ke_k = 0e₁ +…+ _ke_k + …+ 0e_n 

Теорема: якщо характеристичний многочлен лінійного оператора має n різних дійсних коренів: ₁,…,_n, то власні вектори, що відповідають цим кореням є лінійнозалежними і таким чином створюють бізис простору V. Таким чином лінійний оператор у цьому випадку діагоналізується.

Означення: спектром операторів називається множина власних чисел з урахуванням їх кратності. Оператор називається оператором з простим спектром, якщо всі його власні числа дійсні і різні. Теорема твердить, що всі оператори з простим спектром діагоналізуються.

Доведення: нехай характеристичний многочлен P_A() має корені ₁,…, _n _j  _k j  k

Нехай e₁,…,e_n – власні числа e_k  _k

Доведення індукцієй по числу векторів базиса.

k = 1, e₁   кожний не нульовий елемент незалежний отже доведено.

Припустимо, що k вектори незалежні і доведемо, що k+1 вектори будуть незалежні.

Складемо лінійну комбінацію.

₁e₁ + … + _ke_k + a_k+1e_k+1 = , треба довести, що всі  = 0. Подієм на ліву і праву частину оператором A.

A(₁e₁ + … + _ke_k + _k+1e_k+1 ) = A

₁Ae₁ + … + _kAe_k + _k+1Ae_k+1 =  оскільки всі вектори власні вектори  Ae₁ = ₁e₁; Ae_k = _ke_k; Ae_k+1 = _k+1e_k+1

₁₁e₁ + … + _k_ke_k + _k+1_ne_k+1 =  початкову рівність домножимо на _k+1 і віднімемо від отриманої.

₁(₁ - _k+1)e₁ + … + _k(_k - _k+1)e_k = 

За припушенням індукції k векторів незалежні тому всі коефіцієнти дорівнюють 0.

_1­(₁ - _k+1) = … = _k(_k - _k+1) = 0  оскільки _j  _k  ₁ = ₂ = … = _k = 0 підставимо в початкову лінійну комбінацію

0e₁ + … + 0e_k + _k+1e_k+1 = 0  _k+1e_k+1 = 0  _k+1 = 0. 

Білет 47.

Евклідові простори. Теорема про існування ортонормованого базиса евклідового простору. Властивості ортонормованих базисів.

Евклідовими просторами називають лінійні простори в якіх введено поняття скалярного добутку.

Означення: нехай V лінійний простір над полем R скалярним добутком у просторі V називається відображення, що ставиться у відповідність кожній парі елементів V.

При чому виконуються такі 4 аксіоми:

А1: симетрія <y, x> = <x, y> x, y  V

А2: лінійності <x+y, z> = <x, z> + <y, z> x,y,z  V

А3: лінійності <x, y> = <x, y> x,y V, R

А4: додатній визначеності <x, x>  0, <x, x> = 0  x = .

Цей простір називається евклідовим лінійним простором.

Означення: нормою вектора лінійного простору V називається число <x, x> = ||x||

Означення: вектори евклідового простору називаються ортогональними, якщо іх скалярний добуток дорівнює 0. Набір векторів, або система векторів називається ортогональною системою, якщо кожні два елементи попарно ортогональні.

Вектор називається нормованим, якщо його норма дорівнює 1.

Система векторів називається нормованою, якщо всі її елементи мають норму 1. Система називається ортонормованою, якщо вона ортогональна та нормована.

Теорема про існування базиса в евклідовому просторі: кожний n-вимірний евклідів простір має ортонормований базис.

Доведення: (конструктивне)

Нехай f₁,f₂,…,f_n – базис простору V

Наступна процедура називається процесом ортонормалізації.

g₁ = f₁

g₂ = f₂ - ₂₁g₁, де ₂₁ – підберається з умовою ортогональності.

Так як система ортогональна <g₂, g₁> = 0  <f₂ - ₂₁g₁, g₁> = <f₂,g₂> - ₂₁<g₁,g₁> = 0  ₂₁ = <f₂, g₁>/<g₁, g₁>

g₃ = f₃ - ₃₁g₁ - ₃₂g₂

<g₃, g₁> = 0  <f₃ - ₃₁g₁- ₃₂g₂, g₁> = <f₃,g₁> - ₃₁<g₁,g₁> - ₃₂<g₂,g₁> = 0  ₃₁ = <f₃, g₁>/<g₁, g₁>

<g₃, g₂> = 0  <f₃ - ₃₁g₁- ₃₂g₂, g₂> = <f₃,g₂> - ₃₁<g₁,g₂> - ₃₂<g₂,g₂> = 0  ₃₂ = <f₃, g₂>/<g₂, g₂>

………………………………

g_n = f_n - _n1g₁ - _n2g₂ - … - _n(n-1)g_n-1

_jk = <f_j, g_k>/<g_k, g_k>

Оскільки вектори лінійнонезалежні то лінійна комбінація не дорівнює 0, отже процедура коректна.

₁g₁ + … + _kg_k + … + _ng_n = 0.

<…,g_k > = 0

_k<g_k, g_k> = 0  _k = 0 k

Нормуємо вектори g.

e_k = 1/||g_k||  g_k

Отримуємо базис B(e₁,…,e_n) – ортонормований базис.

Теорема про властивості ортонормованого базису: якщо B(e₁,…,e_n) ортонормований базис і вектор x V розкладається по базису так x = ⁿ_j=1 _je_j, а y V, y = ⁿ_k=1 _ke_k, то мають місце такі тверження:

1. _k = <x, e_k>

2. <x, y> = ₁₁ +… + _n_n = ⁿ_k=1 _k_k

Доведення:

1. Обчислимо <x, e_k> = <ⁿ_j=1 _je_j , e_k> = ⁿ_j=1 _j<e_j , e_k> = _k <e_k, e_k> = _k||e_k||² = _k

2. Обчислимо <x, y> = <ⁿ_j=1 _je_j , ⁿ_k=1 _ke_k> = ⁿ_j=1 _jⁿ_k=1 _k<e_j,e_k> = ⁿ_k=1 _k_k<e_k,e_k> = ⁿ_k=1 _k_k. 

Білет 48.

Оператори в евклідовому просторі: обчислення матриці. Спряжений оператор та його матриця. Властивості власних чисел і власних векторів самоспряженого оператора. Теорема про діагоналізацію самоспряженого оператора.

Означення: лінійний оператор A^* називаєтьс спряженим до оператора A, якщо для довільних векторів x,y V, виконується рівність <A^*x, y> = <x, Ay>.

Висновок: матриця спряженого оператора в ортонормованому базисі буде транспанованою матрицею оператора A. Оператор називається самоспряженим, якщо він дорівнює своєму спряженому A^* = A  x,y V <Ax, y> = <x, Ay>

З попереднього випливає, що в ортонормованому базисі матриця оператора повинна дорівнювати своїй транспанованій тобто бути симетричною.

Теорема про властивості самоспряженого оператора:

1. Всі власні числа самоспряженого оператора є дійсними.

2. Власні вектори самоспряженого оператора, що відповідають різним власним числам є ортогональні.

Доведення: доведемо друге.

Нехай A=A^* і два власні вектори Ax = x та Ay = y, , , R

Обчислимо вираз: <Ax, y> = <x, y> = <x, y>

<x, Ay> = <x, y> = <x, y>, враховуючи <Ax, y> = <x, Ay> 

<x,y>=<x,y>  ( - )<x,y> =0 оскільки   <x,y>= 0  xy. 

Теорема про діагоналізацію самоспряженого оператора. У кожному евклідовому просторі для данного самоспряженого оператора існує ортонормований базис, що складається із власних векторів данного оператора, а це означає, що кожний самоспряжений оператор діагоналізується.

Доведення: індукцієй по числу вимірів простору.

Для доведення встановимо Лему. Нехай W V він називається інваріантним для оператора A , якщо оператор A переводить, цей підпростір сам в себе. Ортогональним доповненням підпростору W називається множина всіх векторів ортогональних до W

W^ = { x V | <x, y> = 0 y W}

Ортогональне доповнення само є лінійним підпростіром.

Лема: якщо підпростір W є інваріантним для самоспряженого оператора A то його ортогональне доповнення теж буде інваріантним для оператора A.

Доведення Леми:

Нехай A(W)  W A(W^)  W^ ?

Берем довільний вектор x із простору W^  Ax  W^? Розглянемо скалярний добуток <Ax, w>, w W за властивістю самоспряженості <Ax, w> = <x, Aw> за властивістю інваріантності Aw = w₁ W.

<Ax, w> = <x, w₁> = 0  Ax  w w W. 

Теорема. n = dim V

n = 1

V = Re при n=1 теорема очевидна.

Припустимо, що теорема вірна для простору n-1 виміру і доведемо для виміру n.

e₁ Ae₁ = e₁ який не порушуючи загальності можна вважати нормованим. Проведемо через вектор e₁ одновиміний лінійний підпростір і позначимо його через W₁. Цей підпростір інваріантний для оператора A тоді за лемою ортогональним доповненням до W₁ теж буде інваріантним.

dim W₁^ = n-1

W^ = W_n-1

A: W_n-1­  W_n-1­ за припущенням індукції в підпростірі можна вибрати ортогональний базис e₂, e₃, …,e_n , що складається з власних векторів оператора A. Ae₂ = ₂e₂,…,Ae_n = _ne_n . Додавши до цих векторів початковий вектор, отримаємо ортогональний базис всього простору. 

Білет 49.