- •Множини, способи їх задання. Дії над множинами. Означення раціонального числа. Ірраціональність 2. Означення дійсного числа. Аксіома неперервності множини дійсних чисел r.
- •Числові множини. Обмежені множини. Точна верхня і точна нижня грані. Теорема про існування точної верхньої грані.
- •Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.
- •Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.
- •Монотонні послідовності. Теореми про монотонність границі, про три послідовності.
- •Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності. Критерій Коші. Число e.
- •Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці. Границя limx0(sinx/X).
- •Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості. Нескінченно великі функції.
- •Неперервність функції в точці. Теореми про запас неперервних функцій, про композицію неперервних функцій. Точка розриву. Типи точок розриву.
- •Локальні властивості неперевних функцій.
- •1. Локальна обмеженість:
- •2. Стійкість знаку:
- •Властивості неперервних функцій на відрізку.
- •Монотонні функції. Обернена функція. Теорема про неперервність оберненої функції. Теорема Больцано.
- •Рівномірна неперервність функції на множині. Теорема Кантора.
- •Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.
- •Білет 17. Похідна оберненої функції, та функції заданої параметрично.
- •Диференційовність функції в точці. Зв’язок між диференційовностью та існуванням похідної. Диференціал функції. Властивості диференціала.
- •Теореми Ферма та Ролля.
- •Теореми Коші, Лагранжа про середне значення.
- •Перше правило Лопіталя. Друге – сформулювати. Означення невизначенностей. Порівняння росту.
- •Формула Тейлора.
- •Критерій монотонності функції. Означення локальних екстремумів. Необхідна умова локального екстремуму.
- •Перша та друга достатні умови локального екстремуму.
- •Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.
- •Простір Rn. Приклади множин в Rn. Послідовності в Rn. Теорема про збіжність послідовності в Rn. Теорема Больцано- Вейерштрасса в Rn.
- •Непервні функції n – зміннмх в точці (означення). Властивості неперервнмх функцій n – зміннмх (локальні, арифметичні, композиція - довести).
- •Замкнуті та відкриті множини в Rn. Компакти. Перша та друга теореми Вейєрштрасса про неперервні функції на компактах .
- •Частинні похідні. Диференційовність функції n – зміних. Геометричний зміст диференційовності функції двох змінних. Необхідна умова диференційовності функції n-зміних.
- •Достатня умова диференційовності функції n-зміних. Похідна складної функції.
- •Диференціал функції функції n-зміних.
- •Частинні похідні вищих порядків. Теорема про мішані похідні.
- •Диференціали вищіх порядків. Формула Тейлора. Локальна Формула Тейлора – Пеано.
- •Означення локальних екстремумів функції n- змінних. Необхідна умова локального екстремуму. Достатня умова локального екстремуму.
- •Функції задані неявно. Теорема про неявну функцію. Дотична і нормаль до поверхні, заданої неявно.
- •Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.
- •Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.
- •Теорема Безу. Основна теорема алгебри. Теорема про розклад полінома на множники над полем c.
- •Теорема про розклад полінома на множники над полем r.
- •Ріціональні функції. Теорема про розклад раціональної функції на елементарні дроби. Інтегрування елементарних функцій I та II типу на прикладі.
- •Лінійний простір. Базис, координати та вимірність простору. Теорема про заміну бізиса. Приклад: поворот системи координат.
- •Теорема про заміну базиса
- •Лінійні відображення. Властивості лінійних відображень. Побудова матриці лінійного відображення. Дія лінійного відображення на координати. Перетворення матриці при заміні базиса.
- •Власні числа і власні вектори лінійного оператора. Характеристичний полином лінійного оператора.
- •Діагоналізація матриці лінійного простора. Критерій діагоналізації. Достатня умова приведення матриці до діагонального виду.
- •Евклідові простори. Теорема про існування ортонормованого базиса евклідового простору. Властивості ортонормованих базисів.
- •Ортогональні матриці та їх властивості. Квадратичні форми: зведення до канонічного виду методом Лагранжа.
- •Квадратичні форми і зведення до канонічного виду методом ортогональних перетворень.
Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості. Нескінченно великі функції.
Функція, що зберігається до 0 називається нескінченно малою.
Теорема: якщо (x) і (x) нескінченно малі функції при x a то іх сума, різниця, добуток теж нескінченно малі. Якщо (x) – нескінченно мала, а f(x) – обмежена в околі точки a, то добуток є нескінченно мала.
Доведення: Для першої частини треба використати теорему про арифметичні властивості границь. Доведемо другу. Оскільки (x) 0 то x D x-a< (x)</C f(x)(x) = f(x)(x)<(/C)C = (x)f(x)0
Означення: якщо limxa(x)/(x) = 0, то (x) – називається нескінченно малою більшого порядку малості ніж (x). І позначається = 0().
Означення: нескінченно малі (x) і (x) називаються нескінченно малимі одного порядку малості, якщо границя їх відношення є константа відмінна від 0.
Означення: дві нескінченно малі (x) i (x) називаються еквівалентними, якщо границя їх відношення = 1.
Теорема: принцип заміни нескінченно малих на еквівалентні: якщо (x) ~ 1(x), коли xa, a (x) ~ 1(x), коли xa, то lim((x)/(x)) = lim(1(x)/1(x)) при xa
Доведення: домножимо та поділимо на 1(x) та 1(x) тоді маємо:
lim ((x)/(x)) = lim (1(x)/1(x))*((x)/1(x))*(1(x)/(x)) = lim (1(x)/1(x))*lim ((x)/1(x))*lim (1(x)/(x)) = lim 1(x)/1(x) при xa
Приклад:
lim (sin 5x)/(e2x) = lim (5x/2x) = 2,5 при x0
Функція f(x) називається нескінченно великою при xa, якщо C>0 (C)>0 xD(f) x-a< f(x)>C
Білет 11.
Неперервність функції в точці. Теореми про запас неперервних функцій, про композицію неперервних функцій. Точка розриву. Типи точок розриву.
Означення: функція f(x) називається неперервною в точці а , якщо f(x) визначена в околі точки а, і границя функції f(x) , коли x=>a дорівнює значенню в точці а.
1. (Гейне) xna f(xn) f(a) при n
2. (Коші) >0 (), x, |x-a|< |f(x)-f(a)|<
3. x-a = xa , f(x)-f(a) = fa - приріст в точці а.
>0 () |a |< | fa|<
Теорема: якщо функції f(x) i g(x) - неперервні в точці x=a , то сума, різниця (fg)(x) добуток (fg)(x) та відношення (f/g)(x) g(x)0 неперервні в точці x=a.
Доведення: доведемо для відношення функцій при xa
Lim (f/g)(x) = lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x) = f(a)/g(a) = (f/g)(a)
Для інших аналогічно.
Теорема про композицію неперервних функцій: якщо функція y=f(x) неперервна в точці а, а функція z=g(y) неперервна в точці y0=f(a), то складна функція z = g(f(x)) = (gf)(x) є неперервною функцією в точці а.
Доведення:
xna f(xn)=yn f(a) g(yn) g(f(a))
xna g(f(xn)) g(f(a))
Означення: функція називається розривною в точці a, якщо вона визначена в проколотому околі точки a і не є в цій точці неперервною.
Розрив в точці a функції f(x) називається розривом першого роду, якщо в цій точці a існують границі функції зліва і справа.
1. Усувний розрив першого роду. f(a-0) = f(a+0) f(a), або f(a) – невизначена.
2. Неусувний розрив першого роду. f(a-0) f(a+0).
Величина f(a-0) - f(a+0) – називається стрибком функції.
В точці a має місце розрив другого роду, якщо хоча б одна із одностороніх границь дорівнює , або не існує.
Білет 12.