Монотонні послідовності. Теореми про монотонність границі, про три послідовності.

Числова послідовність xn називається монотоннозростаючою, якщо для кожного номера n виконується нерівність x_n  x_n+1, позначається x_n , якщо x_n < x_n+1 послідовність називається строгозростаючою ( x_n  ).

Послідовність x_n спадає ( монотонноспадає ), якщо для будь-якого n x_n  x_n+1, позначається x_n , якщо x_n > x_n+1, то x_n – строгоспадає ( x_n ).

Теорема: якщо x_n та y_n дві збіжні послідовності такі що: x_n  y_n та lim x_n=a, lim y_n=b ,то для будь-якого n, x_ny_n  ab, тобто lim x_n  lim y_n.

Доведення: припустимо, що a>b. Виберемо околи a i b без спільних точок (O_(a) та O_(b)), тоді x_na  починаючи з деякого номера x_n входить до околу точки a, тобто

x_na   N₁() x_n  O_(a),

y_nb   N₂() y_n  O_(b)

нехай N=max(N₁, N₂) при nN  x_n  O_(a)

y_n  O_(b)  y_n<x_n,

а це суперечить умові.

Зауваження: при переході до границі строга нерівність може перейти в нестрогу.

Зауваження: послідовність, яка не є збіжною є розбіжною.

Теорема про три послідовності: нехай дано три послідовності x_n, y_n, z_n дійсних чисел , при чому для довільного n виконується нерівність: x_n  y_n  z_n тоді, якщо крайні послідовності (x_n та z_n) збігаються до деякого числа а, то середня (y_n) послідовність теж збігається до а.

Доведення:

lim x_n = a   >0  N₁() n N₁ x_n  O_(a) = (a-, a+)

lim z_n = a   >0  N₂() n N₂ z_n  O_(a) = (a-, a+)

Нехай N=max(N₁,N₂) при nN

a-  x_n, z_n  a+

але x_n  y_n  z_n  y_n  O_(a)

 >0  N nN y_n  O_(a)  lim y_n = a. 

Білет 6.

Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності. Критерій Коші. Число e.

Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності: якщо послідовність монотоннозростає і обмежена зверху то вона має границю при чому ця границя дорівнює точці верхньої грані. Якщо послідовність монотонноспадає і обмежена з низу, то вона має границю і ця границя дорівнює точці нижньої грані.

Доведення: Припустимо, що x_n зростає і обмежена зверху константою C, тоді множина x_n обмежена і має точну верхню грань, і існує Supx_n = a. Доведемо, що xn збігається до a. За означенням Sup виконується дві умови:

1. x_n  a.

2. >0 x_N (a-,a]

Оскільки послідовність x_n монотонно зростає

n x_nx_n+1  nN a-<x_na<a+  nN x_nO_(a)lim_n x_n = a.

Для монотонно спадної доводиться аналогічно. 

Критерій Коші: Для того що б послідовність х_п мала границю необхідно і достатньо виконання умови:

>0 N() m,nN |x_m-x_n|< при x_m-x_n0, m0, n0.

Розглянемо послідовність a_n =(1+1/n)ⁿ

Теорема:Числова послідовність а_n має границю, тобто є збіжною.

Доведення:

Нехай а_n зростае і обмежена зверху числом 3.

 lim a_n =lim(1+1/n)ⁿ , де n

a_n=(1+1/n)ⁿ=1+C_n¹*1/n+C_n²*1/n²+C_n³*1/n³…+C_nⁿ*1/nⁿ =

враховуючи, що C_n^k=n!/(k!(n-k)!)=(n(n-1)…(n-k+1))/k! маємо

=1+n*1/n+(n(n-1))/(2!n²)+…+(n(n-1)…(n-k+1))/k!*1/n^k+…+(n(n-1)…2*1)/n!*1/nⁿ=

=1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+…+((1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n))/k!+((1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n))/n! ,

k/n>k/(n+1)  (1-k/n)<(1-k(n+1)) таким чином, якщо n зростає то чисельники всіх дробів зростають. Кількість доданків теж зростає, тому данні числа зростають з ростом n тому ми маємо a_n<a_n+1 тому послідовність a_n – монотоннозростає.

Тепер доведемо, що послідовність обмежена зверху.

(1-k/n)<1 тому a_n неперевищує 1+1+1/2!+1/3!+…+1/n! <2+1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/((n-1)n), бо 1/4!=1/(1*2*3*4)<1(3*4), звідси маємо = 2+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4…+1/(n-1)-1/n = 3-1/n < 3

a_n – монотонно зростає і a_n<3, а за теоремою Вейерштрасса послідовність a_n має границю і границя називається e.

можна довести , що число e ірраціональне

Lim_(n)(1+1/n)ⁿ= e =2.718281828459045…2.72

Log_ex = Lnx.

Білет 7.