- •Множини, способи їх задання. Дії над множинами. Означення раціонального числа. Ірраціональність 2. Означення дійсного числа. Аксіома неперервності множини дійсних чисел r.
- •Числові множини. Обмежені множини. Точна верхня і точна нижня грані. Теорема про існування точної верхньої грані.
- •Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.
- •Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.
- •Монотонні послідовності. Теореми про монотонність границі, про три послідовності.
- •Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності. Критерій Коші. Число e.
- •Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці. Границя limx0(sinx/X).
- •Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості. Нескінченно великі функції.
- •Неперервність функції в точці. Теореми про запас неперервних функцій, про композицію неперервних функцій. Точка розриву. Типи точок розриву.
- •Локальні властивості неперевних функцій.
- •1. Локальна обмеженість:
- •2. Стійкість знаку:
- •Властивості неперервних функцій на відрізку.
- •Монотонні функції. Обернена функція. Теорема про неперервність оберненої функції. Теорема Больцано.
- •Рівномірна неперервність функції на множині. Теорема Кантора.
- •Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.
- •Білет 17. Похідна оберненої функції, та функції заданої параметрично.
- •Диференційовність функції в точці. Зв’язок між диференційовностью та існуванням похідної. Диференціал функції. Властивості диференціала.
- •Теореми Ферма та Ролля.
- •Теореми Коші, Лагранжа про середне значення.
- •Перше правило Лопіталя. Друге – сформулювати. Означення невизначенностей. Порівняння росту.
- •Формула Тейлора.
- •Критерій монотонності функції. Означення локальних екстремумів. Необхідна умова локального екстремуму.
- •Перша та друга достатні умови локального екстремуму.
- •Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.
- •Простір Rn. Приклади множин в Rn. Послідовності в Rn. Теорема про збіжність послідовності в Rn. Теорема Больцано- Вейерштрасса в Rn.
- •Непервні функції n – зміннмх в точці (означення). Властивості неперервнмх функцій n – зміннмх (локальні, арифметичні, композиція - довести).
- •Замкнуті та відкриті множини в Rn. Компакти. Перша та друга теореми Вейєрштрасса про неперервні функції на компактах .
- •Частинні похідні. Диференційовність функції n – зміних. Геометричний зміст диференційовності функції двох змінних. Необхідна умова диференційовності функції n-зміних.
- •Достатня умова диференційовності функції n-зміних. Похідна складної функції.
- •Диференціал функції функції n-зміних.
- •Частинні похідні вищих порядків. Теорема про мішані похідні.
- •Диференціали вищіх порядків. Формула Тейлора. Локальна Формула Тейлора – Пеано.
- •Означення локальних екстремумів функції n- змінних. Необхідна умова локального екстремуму. Достатня умова локального екстремуму.
- •Функції задані неявно. Теорема про неявну функцію. Дотична і нормаль до поверхні, заданої неявно.
- •Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.
- •Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.
- •Теорема Безу. Основна теорема алгебри. Теорема про розклад полінома на множники над полем c.
- •Теорема про розклад полінома на множники над полем r.
- •Ріціональні функції. Теорема про розклад раціональної функції на елементарні дроби. Інтегрування елементарних функцій I та II типу на прикладі.
- •Лінійний простір. Базис, координати та вимірність простору. Теорема про заміну бізиса. Приклад: поворот системи координат.
- •Теорема про заміну базиса
- •Лінійні відображення. Властивості лінійних відображень. Побудова матриці лінійного відображення. Дія лінійного відображення на координати. Перетворення матриці при заміні базиса.
- •Власні числа і власні вектори лінійного оператора. Характеристичний полином лінійного оператора.
- •Діагоналізація матриці лінійного простора. Критерій діагоналізації. Достатня умова приведення матриці до діагонального виду.
- •Евклідові простори. Теорема про існування ортонормованого базиса евклідового простору. Властивості ортонормованих базисів.
- •Ортогональні матриці та їх властивості. Квадратичні форми: зведення до канонічного виду методом Лагранжа.
- •Квадратичні форми і зведення до канонічного виду методом ортогональних перетворень.
Лінійний простір. Базис, координати та вимірність простору. Теорема про заміну бізиса. Приклад: поворот системи координат.
Множина V називається лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел, якщо на ній введено дві операції:
1. додавання (х,у)х+у х,у V;
2. множення на число (, х)х R(C), хV;
Причому виконуються такі 8 аксіом:
А1. Комутативність х+у=у+х х,уV;
А2. Асоціативність (х+у)+z=х+(у+z) x,y,zV;
А3. Існування нульового елементу V x+=x xV;
A4. Існування протилежного елементу
xV yV x+y=, y=(-x);
A5. Правий дистрибутивний закон
(x+y)=x+y R(C) x,yV;
A6. Лівий дистрибутивний закон
(+)x=x+x, ,R(C) xV;
A7. Асоціативний (x)=()x, ,R(С), xV;
A8. 1*x=x xV.
Неформально елементи довільного лнійного простору називають векторами.
Впорядкований набір елементів лінійного простору В (е1,…,еn) називається базисом лінійного простору V, якщо виконуються дві умови:
1. вектори е1, е2,…,еn - незалежні;
2. xV x=1e1+2e2+…+nen.
Будь-які 2 базиса одного простору мають однакову кількість векторів.
Число або кількість векторів базиса називається вимірністю простору. Позначається dimV.
Лінійний простір називається нескінченно вимірним, якщо для кожного натурального n в ньому існує лінійно незалежний набір з n елементів.
Для довільного елемента х із V координатами х називаються коефіцієнти розкладу х по векторах базису : х=1е1+…+nеn
Теорема про заміну базиса
Припустимо, що в лінійному просторі V задано два базиса В(е1,…,еn) і B(е1,…,еn). Позначимо через () координати вектора х в базисі В, а через () – координати вектора х в базисі В. Оскільки В-базис, то елементи В повинні виражатись через елементи В.
e1 = t11e1 + t12e2 +…+ tn1en
e2 = t12e1 + t22+e2 +…+ tn2en
en = t1ne1 + t2ne2 +…+ tnnen
Матриця Т коефіцієнтів розкладу розміщених по стовпцях називається матрицею переходу
від базиса В до базиса В’.
t11…t1n
Т(ВВ)= ………
tn1….tnn -матриця переходу.
[e] = [e1, e2,…,en]
[e] = [e1,e2,…en]
[e]=[e]*T
х = 1e1 + 2e2 +…+ nen = 1e1 + 2e2 + … + nen =
= 1(t11e1 + t21e2 + … + tn1en) +
+ 2(t12e1 + t22e2 + … + tn2en) +
+ …………………………… +
+ n(t1ne1 + t2ne2 + … + tnnen) =
= (t111 + t122 + … + t1nn)e1 +
+ (t211 + t222 + … + t2nn)e2 +
+ ……………………………….+
+ (tn11 + tn22 + … + tnnn)en = оскільки координати визначаються однозначно.
1 = t111 + t122 + … + t1nn
2 = t211 + t222 + … + t2nn
………………………………
n = tn11 + tn22 + … + tnnn () = T () () = T-1()
Поворот системи координат.
n=2 V=V(2) B=(i,j) B=(i’,j’)
i=cos i+sin j
j=-sin i+cos j
cos - sin
T(BB)=
sin cos
M(x,y)=M(x,y)
x = cos -sin x
y sin cos y
x=xcos - ysin
y=xsin+ ycos
Білет 44.