Теорема про розклад полінома на множники над полем r.

Лема: Якщо P(x) - многочлен з дійсними коефіцієнтами і він має комплексний корінь z то спряжене число z₀ теж буде коренем цього многочлену.

Доведення: z = a+bi , z = a-bi з означення спряженості маємо:

z₁  z₂ = z₁ + z₂; z₁z₂ = z₁  z₂ 

=> (zⁿ) = (z)ⁿ, a R a = a

Всі ці властивості доводяться простим обчисленням. Припустимо, що z₀ - комплексний корінь P_n(z₀) = 0 маємо:

C₀+C₁z₀+...+C_nz₀ⁿ = 0 Перейдемо до операції спряження в лівій і правій частині:

C₀+C₁z₀+...+C_nz₀ⁿ = 0

Тоді за властивостями:

C₀+C₁z₀+...+C_nz₀ⁿ = 0 

 C₀+C₁z₀+...+C_nz₀ⁿ = 0

P_n(z₀) =0

Висновок: многочлен з дійсними коефіцієнтами має парне число чисто комплексних коренів.

Розглянем многочлен P_n(x) - з дійсними коефіцієнтами і розкладемо його на множину над полем комплексних чисел

P_n(x)=C_n(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n)

Серед (х) є дійсні і комплексні корені. Об’єднаємо всі дійсні корені і пари спряжених комплексних коренів:

а₁,...,a_m - дійсні корені k₁,...,k_m - їх кратності

Тоді маємо:

P_n(x) = C_n(x-a₁)^k1...(x-a_m)^km(x-z₁)(x-z₁)...(x-z_h)(x-z_h)

Оскільки (x-z₁)(x-z₁) = x²-(z₁+ z₁)x+z1 z₁=

 z=a+bi z+z =2a, a R тоді: (z₁+z₁) = p₁ R

z=a-bi zz = |z|²  0, |z|² R z₁z₁ = q₁ 0, q₁ R

 =(x²+p₁x+q₁) D=p₁² - 4q₁ < 0

Об"єднуючи однакові квадратні тричлени маємо:

=C_n(x-a₁)^k1...(x-a_m)^km(x²+p₁x+q₁)^r1... (x²+p_sx+q_s)^rs

Формула називається формулою розкладу полінома над полем дійсних чисел k₁+...+k_m+2(r₁+...+r_s) = n

Висновок:многочлен з дійсними коефіцієнтами розглядається на множині першого степеня та другого з від’ємним дискримінантом, з відповідними кратностями.

Білет 42.

Ріціональні функції. Теорема про розклад раціональної функції на елементарні дроби. Інтегрування елементарних функцій I та II типу на прикладі.

Означення: раціональною функцією, або раціональним дробом називається відношення двох поліномів. Раціональні фунції утворюють поле.

Раціональна функція називається правильною, якщо степінь чисельника менше степені знаменика.

Означення: раціональні функції наступних двох видів називаються елементарними A/(x - a)ⁿ, при n1, (Mx + N)/(x² + px + q)ⁿ, при n1, або елементарними раціональними дробами.

Теорема: кожна правильна раціональна функція розкладається в алгебраїчну суму елементарних раціональних функцій. Цей розклад однозначний з точністю до порядка доданків.

m>n, P_n(x)/A_m(x) = P_n(x)/[(x-a₁)^k1…(x-a_r)^kr(x²+p₁x+q₁)^h1…(x²+p_sx+q_s)^hs]

= ^r_i=1^ki_j=1 A_ij/(x-a_i)^j + ^s_i=1^hi_j=1 (M_ijx+N_ij)/(x²+p_ix+q_i)^j ,

де A_ij,M_ij,N_ij R

Інтегрування елементарних функцій I типу:

1. dx/(x-2) = ln | x- 2| + C

2. dx/(x+3)²⁰ = (x+3)^-20dx = -1/19(x+3)^-19 + C

Інтегрування елементарних функцій II типу:

1. (3x + 5)dx/(x² + 2x + 5) = [3/2(2x + 2)+2]dx/(x² + 2x + 5) =

= 3/2(2x+2)dx/(x² + 2x + 5) + 2dx/(x² + 2x + 5) =

= 3/2ln(x² + 2x + 5) + artctg[(x+1)/2] + C.

2. Використовується рекурентна формула

I_n = dx/(x² + a²)ⁿ

I_n+1 = x/(2na²(x² + a²)ⁿ) + (2n-1)I_n/(2na²) використовуючи яку інтеграл зводиться до випадку 1.

Білет 43.