Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.

Функція F(x) визначена в інтервалі (a,b) називається первісною для функції f(x) визначеною в тому самому інтервалі, якщо виконується рівність F(x) = f(x).

Теорема: дві первісні однієї й тієї ж самої функції в інтервалі (a,b) можуть відрізнятись лише на константу.

Доведення: нехай F₁(x) i F₂(x) дві первісні однієї й тієї ж самої функції f(x) в інтервалі (a,b). Розглянемо різницю F(x) = F₁(x)-F₂(x). Нехай x₁<x₂ дві довільні точки цього інтервалу. Застосуємо до F(x) теорему Лагранжа на відрізку [x₁,x₂]. Маємо

F(x₂) - F(x₁) = F(c)(x₂-x₁) де x₁ < c < x₂

F(c) = F₁(c) - F₂(c) = f(c) - f(c) =0

F(x₁) - F(x₂) = 0  F(x₂)=F(x₁) x₁<x₂  F(x) = const = C

Означення: невизначеним інтегралом функції f(x) заданої в інтервалі (a,b) називається множина всіх первісних цієї функції.

Позначається f(x)dx = {F(x)+c), c Є R

Отже загальний випадок первісної F(x)+C

Властивості інтегралу:

1. Лінійність (f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx

a*f(x)dx=a*f(x)dx

Для доведення потрібно взяти похідні від лівої і правої частини і скористатися властивостями лінійності похідної. Доведемо першу.

( ( f(x) + g(x) )dx ) = f(x) + g(x)

( f(x)dx + g(x)dx ) = ( f(x)dx ) + ( g(x)dx ) = f(x) + g(x). 

2. Мають місце такі рівності:

( f(x)dx ) = f(x) – випливає з означення інтеграла

dF(x) = F(x) + C

Доведемо другу.

dF(x) = F(x)dx F(x) – первісна для F(x)

F(x)dx = F(x) + C  dF(x) = F(x) + C. 

Білет 39.

Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.

Метод заміни змінної.

Теорема: Якщо функція f(x) - неперервна в інтервалі (a,b) , а функція x=(t) має неперервну похідну , то має місце формула

f(x)dx|_x=(t) =f((t))(t)dt

Доведення: позначимо F(x) первісну функцію для функції f(x).

Тоді розглянемо складну функцію F((t)). Її похідна

(F((t))) = F((t))(t) = f((t))(t) 

f((t))(t)dt = F((t)) + C 

  F((t))+C=F(x)dx|_x=(t)

f(x)dx = F(x)+C 

Наслідок: з теореми про заміну змінної випливає властивість інваріантності формули інтегрування.

f(x)dx|_x=(t) =f((t))(t)dt = f((t))d(x)

Означення: перехід від виразу (t)dt  d((t)) називається перенесенням функції під знак дифференціалу.

Метод інтегрування частинами.

Теорема: якщо дві функції U(x) i V(x) мають неперервні похідні в інтервалі (a,b) то виконується формула:

U(x)V(x)dx=U(x)V(x)-V(x)U(x)dx

UdV=UV-VdU - формула інтегрування частинами.

Доведення:

(U(x)V(x)) =U(x)V(x)+U(x)V(x)

(U(x)V(x)+U(x)V(x))dx = U(x)V(x)+C

U(x)V(x)dx+U(x)V(x)dx = U(x)V(x)+C

U(x)V(x)dx = U(x)V(x)-U(x)V(x)dx+C = U(x)V(x)-U(x)V(x)dx 

Білет 40.

Теорема Безу. Основна теорема алгебри. Теорема про розклад полінома на множники над полем c.

Теорема: залишок або остача від ділення полінома P(x) на x-a дорівнює P(a).

Доведення:

P_n(x) = A_n-1(x)(x-a) + R(x)

де A_n-1 - неповна частка, R(x) - остача; оскільки степінь R(x)<1  R(x) = Const =R₁ х.

P_n(x)=A_n-1(x)(x-a)+R при x=a

P_n(a)= A_n-1(a)(a-a)+R  R = P_n(a)

Наслідок:поліном P_n(x) ділиться на x-a без остачі тоді і тільки тоді, коли P_n(а) = 0 тобто, коли а є коренем многочлена P_n(x).

Основна теорема алгебри: кожний поліном має корінь ( взагалі кажучі комплексний).

Розклад многочлена над полем комплексних чисел.

Теорема: нехай P_n(z) поліном степеня n з комплексними коефіцієнтами. За основною теоремою алгебри він має корінь.

Існує z₁C , P_n(z₁)=0, тоді за теоремою Безу маємо:

P_n(z)=(z-z₁)Q_n-1(z).

За основною теоремою Q_n-1 має корінь z₂ Q_n-1(z₂) = 0 тоді:

Q_n-1(z) = (z-z₂)Q_n-2(z)

P_n(z)=(z-z₁)(z-z₂) Q_n-2(z)

Повторивши n раз отримаємо:

P_n(z)=C_n(z-z₁)(z-z₂)...(z-z_n)

Таким чином многочлен в колі комплексних чисел має стільки коренів , яка в нього степінь. Об'єднуючи одна по одній співмножники маємо :

P_n(z)= C_n(z-z₁)^k1... (z-z_m)^km

Де z₁...z_m - різні корені, тоді :

k₁+...+k_m = n, де k - кратності коренів.

Подалі будуть позначення виду:

Спряжене комплексне число z позначається z

Білет 41.