Означення локальних екстремумів функції n- змінних. Необхідна умова локального екстремуму. Достатня умова локального екстремуму.

Означення: точка xx = aa називаеться точкою локального максимуму для f(xx) , якщо існує такий окіл точки аa, що для всіх хxaa з цього околу виконується нерівність f(xx)<f(aa). Локальний мінімум якщо f(xx)>f(aa).

Теорема: необхідна умова екстремума функції.

Якщо функція n-змінних f(xx), має в точці аa екстремум тобто локальний мінімум, чи максимум і в точці аa існують частинні похідні по всіх змінних, то всі ці частинні похідні дорівнюють нулю.

Доведення: Розглянемо допоміжні функції одного змінного

_k(x_k) = f(a₁,…, a_k-1, x_k, a_k+1,…, a_n). Якщо aa – точка екстремуму функції  _k(x_k) має екстремум в точці x_k = a_k  _k(a_k) =0 

_k =f/x_k; f/x_k(aa) = f/x_k(a₁,…,a_k,…,a_n) k. 

Точки в якій всі частинні похідні дорівнюють нулю називаються стаціонарними точками.

Квадратичною формою від n змінних називається однорідний многочлен другого степеню від n змінних.

(t₁,…t_n)=ⁿ_j=1ⁿ_k=1A_jkt_jt_k, де A_jk- називається коефіцієнтами квадратичної форми. A = (A_jk) – називається матрицею квадратичної форми , ця матриця є симметричною A_jk= A_kj.

Означення: квадратична форма (t)= ⁿ_j=1ⁿ_k=1(²f/x_jx_k)t_jt_k називається квадратичною форму другого дифференціалу.

Означення: квадратична форма n-змінних (t) називається визначеною додатньо, якщо (tt)>0 tt  0 і позначається (tt)>>0. Аналогічно, форма називається визначеною від’ємно, якщо (tt)<0 tt  0 і позначається (tt)<<0.

Теорема: Якщо f(xx) належить класу С¹ в околі точки аa, аa – стаціонарна точка функції f(xx) , тоді якщо d²f(aa) визначений додатньою квадратичною формою то в точці аa – мінімум . Якщо d²f(aa) визначений від’ємною квадратичною формою то в точці aа – максимум. Якщо другий дифференціал є невизначеною квадратичною формою. То в точці аa немає екстремуму.

Доведення: розглянемо приріст f(xx) в точці аa для нього встановлена формула

f(x) – f(a) = ²/2(ⁿ_j=1ⁿ_k=1(²f/x_jx_k)(aa) t_jt_k+2(xx))

Припустимо, що квадратична форма визначена додатньо  (t)  0 для будь-якого tt що задовольняє умові t_k²=1 (одиничній сфері).

Одинична сфера – є множина замкнута і обмежена , тобто компактна тому за теоремою Вейерштрасса функція (tt) має своє найменше і найбільше значення.

Нехай m=inf (tt) = (t₀) >0  (t)  m >0 tt, t_k² =1

d²f(aa) >> 0  (tt)>0

>0  (xx, aa)<  |2(xx)|<

Візьмемо спеціальне ,  = m/2 > 0

 (xx, aa)<  |2(xx)|<m/2 |(xx)|<m/4  -m/4<(xx)<m/4

Так як f(x) – f(a) = ²/2((tt)+2(xx)) (tt)  m

Оскільки 2(xx) >-m/2 тоді:

²/2((tt)+2(xx))> ²/2(m-m/2)= p²/2m/2

²(xx,aa)m/4>0  xx  aa  f(xx) > f(aa)

Отже аa – точка мінімума.

Другий випадок розглядається аналогічно.

Білет 36.

Функції задані неявно. Теорема про неявну функцію. Дотична і нормаль до поверхні, заданої неявно.

Розглянемо функцію n+1 змінного F(x₁,...,x_n,y) = F(xx,y) в визначеному околі точки O(aa,b)=O(a₁,...,a_n,b). Припустимо, що F(aa,b) = 0. Розглянемо множину нулів функції

N(F) = {(xx,y) | F(xx,y) =0}

Виникає питання чи буде ця множина N(F) графіком деякої функції y=(xx)? Виявляється, що це не так! Нехай n=1. F(xx,y) = x²-y² = 0 = (x-y)(x+y), якщо взяти точку O(a,b) і який би окіл ми не взяли  точки О, завжди одному x відповідає 2 y і навпаки. Отже графіком це не буде.

Означення: функція n-змінних y=(xх) визначена в околі точки аa радіуса , називається неявною функцією заданою рівнянням F(xx ,y)=0. Якщо при підстановці у це рівняння виконується тотожність F(xx, (xx))0 х O(aa, b)

Теорема:нехай функція F(xx, y) задовольняє таким умовам:

1. F(xx, y) і всі похідні f/x_k, f/y - неперервні в околі точки (aa,b)  FC¹

2. F(aa, b) = 0

3. Частинна похідна f/y(aa, b)  0

Тоді існує -окіл точки aa і в ньому єдина функція y=(xx) така що :

1. (aa) = b

2. F(xx, (xx)) = 0 x O_(aa)

Функція y=(xx) називається неявною функцією визначеною рівнянням F(xx,y) = 0. Функція y=(xx) теж належить класу С¹ для її похідних має місце формула y/x_k=/x_k= -F_Xk/F_y =

= -(F/_Xk)/(F/y)(xx, (xx))

Доведення: Якщо похідна f/y  0 то данне функціональне рівняння можна розв’язати відносно змінної y. Доведемо формулу для похідної неявної функції для n=1

F(x,y) = 0 y=(x), F(a,b)=0 F/y(a,b)  0

F(x,y) - F(a,b) = 0 оскільки F C¹ маємо

F(x,y) = F/x(a,b)x+F/y(a,b)y+0([x²+y²] )= 0

y / x= -F/x(a,b)/F/y(a,b) - 0((x²+y²)/x

Нехай x 0 перейдемо до границі:

lim y/x= - [F/x(a,b)]/[F/y(a,b)] –lim 0([x²+y²])/x =

= -[F/x(a,b)]/[F/y(a,b)] - 0

Дотична площина до графіка неявної функції.

Припустимо, що в просторі задана поверхня F(x,y,z) = 0,

M₀(x₀,y₀,z₀) – належить поверхні. Припустимо, що F/z(M₀)  0. Якщо F C¹ то z=f(x,y), f(x,y) C¹

z-z₀ = f/x (x₀, y₀) (x – x₀) + f/y (x₀, y₀) (y – y₀)

f/x = z/x = - F_x/F_z|_M0

f/y = z/y = - F_y/F_z|_M0

z-z₀ = - F_x/F_z|_M0(x – x₀) - F_y/F_z|_M0(y – y₀)

Дотична площина: F_x(M₀)(x-x₀) + F_y(M₀)(y-y₀) + F_z(M₀)(z-z₀) = 0

Нормаль : (x-x₀)/ F_x(M₀) = (y-y₀)/ F_y(M₀) = (z-z₀)/ F_z(M₀)

Білет 37.

Градієнт функції n-зміних, похідна по напряму. Властивості градієнта. Означення умовного екстремуму функції n-зміних. Необхідна умова умовного екстремуму. Метод Лагранжа розв’язання задачі на умовний екстремум.

Означення: похідною функції f(x,y,z) по напряму вектора ee називається границя lim_t0([f(M(t) – f(M₀)]/t), де M(t) – точка променя, що відповідає значенню параметра t.

M(x₀ + tcos, y₀ + tcos, z₀ + tcos). Похідна по напрямку позначається f/ee(M₀).

Означення: градієнтом функції f(x,y,z) в точці M₀ називається вектор з координатами, що дорівнюють частиним похідним в точці M₀. Позначається grad f(M₀) = (f/x (M₀), f/y (M₀), f/z (M₀))

Аналогічно для функції n- зміних. Якщо U = f(xx) – то градієнтом в точці aa буде grad f(aa) = (f/x₁(aa), …, f/x_n(aa))

ee = (cos₁, …, cos_n), де cos²₁ + … + cos²_n = 1.

f/ee = f/x₁(aa)cos₁ + … + f/x_n(aa)cos_n = grad f(aa)ee

Умовним екстремумом називається екстремум функції n-змінних U=f(xx) при додаткових умовах заданих системою рівнянь:

 ₁(x₁,...,x_n) = ₁(xx) = 0

 ................................

 _m(x₁,...,x_n) = _m(xx) = 0

Ці рівняння, які визначають умову називають рівняння зв’язку. Необов’язково n = m.

Позначимо через D₀ множину всіх розв"язків системи.

D₀ = {xx | ₁(xx) = ... =_m(xx) = 0} , де D₀  D

(D - відкрита множина простору Rⁿ).

Точка xx = aa називається точкою локального, умовного максимуму функції f(xx) = L, при умовах ₁(xx) = ... = _m(xx) = 0, якщо aaD₀ і якщо існує такий окіл точки , що для будь-якого хx з цього околу відмінного від аa такого , що ₁(xx) = ₂(xx) = ... = _m(xx) = 0  f(xx)<f(aa). Означення локального мінімуму аналогічно.

1. aa D₀

2. O(aa) xx O(a) , xx  aa , ₁(xx) = ... = _m(xx) = 0  f(xx)>f(aa)

Методи знаходження:

1. Метод виключення: він полягає в тому що з рівнянь зв’язку виключаються частина змінних в результаті задача на умовний екстремум зводиться до задачі на звичайний екстремум.

В загальному випадку метод виключення застосовувати неможливо, тому існує метод Лагранжа.

2. Метод Лагранжа

Теорема: нехай _k C¹(O(aa)) тоді якщо точка xx = aa є точкою умовного єкстремума функції f(xx) відносно рівнянь зв’язку ₁(xx)=...=_m(xx)=0, то градієнти функцій f(aa) i _k(aa) лінійно залежні, тобто існують такі константи ₀,...,_m не всі  дорівнюють нулю такі, що

₀ grad f(aa) + ₁ grad ₁(aa) + ... + _m grad _m (aa)  0

Наслідок: якщо градієнти рівнянь зв’язку лінійно не залежні , то градієнт функції f(xx) є лінійною комбінацією градієнтів рівнянь зв’язку.

grad f(aa) = ₁ grad ₁(aa)+...+_m grad _m(aa)

Означення: функцією Лагранжа в задачі на умовний екстремум називається функція

L(xx ,) = f(xx)+₁₁(xx)+...+_m_m(xx)

Де ₁..._m - параметри , які називаються множниками Лагранжа.

Наслідок: Якщо аa - точка умовного екстремуму нашої данної задачі, то існують такі значення параметра ₁, ₀ , що всі частинні похідні функції Лагранжа в точці aа дорівнюють 0.

Правило:

1. Скласти функцію Лагранжа, знайти її стаціонарні точки то відповідні їм значення параметра , для цього треба розв’язати систему рівнянь L/x₁ = 0; ... L/x_n = 0 та ₁(xx) = 0;..._m(xx) = 0.

Система має n+m рівнянь. Знаходимо aa i ₀.

2. Складаємо другий дефференціал функції Лагранжа по змінних хx в знайдених точках L²_{xx xx} (aa,₀).

3. Знайти дифференціали рівнянь зв'язку в знайдених точках та виділити базисні дифференціали через базисні.

4. Підставити значення всіх дифференціалів у вираз другого дифференціалу і дослідити визначеність отриманої квадратичної форми.

Білет 38.