Непервні функції n – зміннмх в точці (означення). Властивості неперервнмх функцій n – зміннмх (локальні, арифметичні, композиція - довести).

Функція n-зміних U=f(x₁,…,x_n) = f(x^) називається неперервною в точці aa, якщо вона визначена в точці aa і границя f(xx) при xxaa дорівнює f(aa).

(Гейне) xx_k  aa  f(xx_k)  f(aa)

(Коші) >0 ()>0 xx (xx, aa)<  |f(xx) – f(aa)| < 

Властивості неперервних функцій:

1. Обмеженість

Якщо f(xx) неперервна в точці aa, то вона обмежена в околі цієї точки aa.

Доведення: візем =1 (xx, aa)<  |f(xx) – f(aa)|<1  f(aa)-1< f(xx) < f(aa)+1. 

2. Стійкість знаку неперервної функції

Якщо f(xx) неперервна в точці aa і f(aa)  0, то існує такий окіл точки aa в якому функція f(xx) має той самий знак, що і f(aa).

Доведення: візьмем  = |f(aa)|/2 тоді маємо:

(xx, aa)<   f(xx) < f(aa) + |f(aa)|/2

 f(xx) > f(aa) + |f(aa)|/2

I. f(aa) > 0  f(aa) –f(aa)/2 < f(xx)  f(xx) > f(aa)/2 >0

II. f(aa) < 0  f(xx) < f(aa) - f(aa)/2 = f(aa)/2 < 0

3. Арифметичні властивості.

Якщо функції f(xx) і g(xx) неперервні в точці aa то їх сума, різниця, добуток, відношення якщо g(aa)  0 теж неперервні в точці aa.

4. Теорема про композицію неперервних функцій n – зміних.

Нехай n функцій ₁(t₁,…,t_n) = ₁(tt)

……………………

_n(t₁,…,t_n) = _n(tt) неперервні в точці tt = tt₀, а f(xx) неперервна в точці aa = ( ₁(tt₀), …, _n(tt₀) ) тоді складна функція h(t₁,…,t_n) = f( ₁(tt),…,_n(tt) ) теж неперервна в точці tt₀.

Доведення: доведемо за означенням Гейне

tt_k  tt₀  ₁ (tt_k)  ₁(tt₀) = a₁

………………………

_n (tt_k)  _n(tt₀) = a_n

yy_k = ( ₁(tt_k), …, _n(tt_k) )  (a₁,…,a_n) = aa

Але f(xx) неперервна в точці aa  f(yy_k)  f(aa)

tt_k  tt₀  f( ₁(tt_k), …, _n(tt_k) )  f(aa). 

Білет 29.

Замкнуті та відкриті множини в Rn. Компакти. Перша та друга теореми Вейєрштрасса про неперервні функції на компактах .

Нехай A довільна, непуста множина простору Rⁿ.

Точка aa множини A називається внутрішньою, якщо вона входить в A з де-якім околом.

Точка bb, що неналежить множині A називається зовнішньою, якщо існує такий окіл точки bb, що немає з A спільних точок.

Точка cc називається межовою точкою, або точкою межи, якщо будь-якій окіл точки cc містить, як точки, що належать A, так і точки, що A не належать. Множина всіх межових точок називається межею множини A. Позначається A.

Множина A називається відкритою, якщо кожна її точка внутрішня.

Множина A називається замкнутою, якщо всі точки межи входять в A.

Множина A простору Rⁿ, яка одночасно, замкнена і обмежена називається компакною, або скорочено компактом.

Функція називається неперервною на множині, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Перша теорама Вейерштрасса: функція неперервна на компакті є обмеженою.

Доведення: доведемо від супротивного. Нехай це не так. 

f(x₁,…,x_n) = f(xx):A  Rⁿ

k N xx_k A |f(xx_k)| > K

A – обмежена, бо вона компакт, тому послідовність xx_k – обмежена (xx_k, oo)  X? k. За теоремою Больцано_Вейерштрасса існує підпослідовність xx_Km  aa. За властивістю замкнених множин aaA  lim_m xx_Km = f(aa) так як |f(xx_Km )| > K_m  f(xx_Km)  

Тому наше припущення не вірне. 

Друга теорема Вейерштрасса: функція неперервна на компакті досягає на ньому максимума і мінімума.

xx₀, xx₁ f(xx₀) = Sup_Af(xx) = max_Af(xx)

f(xx₁) = Inf_Af(xx) = min_Af(xx)

Доведення: аналогічно.

Білет 30.