- •Множини, способи їх задання. Дії над множинами. Означення раціонального числа. Ірраціональність 2. Означення дійсного числа. Аксіома неперервності множини дійсних чисел r.
- •Числові множини. Обмежені множини. Точна верхня і точна нижня грані. Теорема про існування точної верхньої грані.
- •Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.
- •Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.
- •Монотонні послідовності. Теореми про монотонність границі, про три послідовності.
- •Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності. Критерій Коші. Число e.
- •Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці. Границя limx0(sinx/X).
- •Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості. Нескінченно великі функції.
- •Неперервність функції в точці. Теореми про запас неперервних функцій, про композицію неперервних функцій. Точка розриву. Типи точок розриву.
- •Локальні властивості неперевних функцій.
- •1. Локальна обмеженість:
- •2. Стійкість знаку:
- •Властивості неперервних функцій на відрізку.
- •Монотонні функції. Обернена функція. Теорема про неперервність оберненої функції. Теорема Больцано.
- •Рівномірна неперервність функції на множині. Теорема Кантора.
- •Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.
- •Білет 17. Похідна оберненої функції, та функції заданої параметрично.
- •Диференційовність функції в точці. Зв’язок між диференційовностью та існуванням похідної. Диференціал функції. Властивості диференціала.
- •Теореми Ферма та Ролля.
- •Теореми Коші, Лагранжа про середне значення.
- •Перше правило Лопіталя. Друге – сформулювати. Означення невизначенностей. Порівняння росту.
- •Формула Тейлора.
- •Критерій монотонності функції. Означення локальних екстремумів. Необхідна умова локального екстремуму.
- •Перша та друга достатні умови локального екстремуму.
- •Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.
- •Простір Rn. Приклади множин в Rn. Послідовності в Rn. Теорема про збіжність послідовності в Rn. Теорема Больцано- Вейерштрасса в Rn.
- •Непервні функції n – зміннмх в точці (означення). Властивості неперервнмх функцій n – зміннмх (локальні, арифметичні, композиція - довести).
- •Замкнуті та відкриті множини в Rn. Компакти. Перша та друга теореми Вейєрштрасса про неперервні функції на компактах .
- •Частинні похідні. Диференційовність функції n – зміних. Геометричний зміст диференційовності функції двох змінних. Необхідна умова диференційовності функції n-зміних.
- •Достатня умова диференційовності функції n-зміних. Похідна складної функції.
- •Диференціал функції функції n-зміних.
- •Частинні похідні вищих порядків. Теорема про мішані похідні.
- •Диференціали вищіх порядків. Формула Тейлора. Локальна Формула Тейлора – Пеано.
- •Означення локальних екстремумів функції n- змінних. Необхідна умова локального екстремуму. Достатня умова локального екстремуму.
- •Функції задані неявно. Теорема про неявну функцію. Дотична і нормаль до поверхні, заданої неявно.
- •Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.
- •Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.
- •Теорема Безу. Основна теорема алгебри. Теорема про розклад полінома на множники над полем c.
- •Теорема про розклад полінома на множники над полем r.
- •Ріціональні функції. Теорема про розклад раціональної функції на елементарні дроби. Інтегрування елементарних функцій I та II типу на прикладі.
- •Лінійний простір. Базис, координати та вимірність простору. Теорема про заміну бізиса. Приклад: поворот системи координат.
- •Теорема про заміну базиса
- •Лінійні відображення. Властивості лінійних відображень. Побудова матриці лінійного відображення. Дія лінійного відображення на координати. Перетворення матриці при заміні базиса.
- •Власні числа і власні вектори лінійного оператора. Характеристичний полином лінійного оператора.
- •Діагоналізація матриці лінійного простора. Критерій діагоналізації. Достатня умова приведення матриці до діагонального виду.
- •Евклідові простори. Теорема про існування ортонормованого базиса евклідового простору. Властивості ортонормованих базисів.
- •Ортогональні матриці та їх властивості. Квадратичні форми: зведення до канонічного виду методом Лагранжа.
- •Квадратичні форми і зведення до канонічного виду методом ортогональних перетворень.
Простір Rn. Приклади множин в Rn. Послідовності в Rn. Теорема про збіжність послідовності в Rn. Теорема Больцано- Вейерштрасса в Rn.
Множина всіх n-вимірних векторів називається координатним n-вимірним простором Rn. Вектори називають точками простору Rn.
Відстанью між векторами X, Y називається (xx , yy) = [(x1-y1)2 + (x2-y2)2 + … + (xn-yn)2 ] = nk=1(xk-yk)2
xx, yy (xx ,yy )0
Приклади множин:
1. Куля – відкритою кулею радіуса r, називається множина всіх точок Rn така, що O(aa ,r) = {xx Rn | (xx ,aa)<r}, де aa- центр кулі.
Замкнута куля: O(aa ,r) = {xx Rn | (xx ,aa)r}
Сфера: S(aa ,r) = {xx Rn | (xx ,aa)=r}
2. Відкритий брус (багатовимірний паралелепіпед).
n- вимірним брусом називається множина точок Rn таких, що координати, яких задовольняють умові
B = { xx Rn | |xk – ak|<hk, k=1…n }, де aa - центр брусу, hkR.
2h1,2h2,…,2hk,…,2hn - ребра
Замкнений брус: B = { xx Rn | |xk – ak|hk, k=1…n }
3. Пряма лінія.
Прямою лінією, що проходить через точки M1(a1,…,an) та M2(b1,…,bn) називається множина точок Rn таких, що
(x1 – a1)/(b1 – a1)= (x2 – a2)/(b2 – a2)=…= (xn – an)/(bn – an)=t
x1= a1 + t(b1-a1)
…………….
xn= an + t(bn-an) , де t R, при t=0 M1
t=1 M2
Ламаною в просторі Rn називається об’єднання скінченного числа відрізків, початок наступного співпадає з кінцем попереднього.
4. Крива у просторі Rn
Кривою L в просторі Rn називається множина точок L={xx}, координати яких задовольняють умовам x1 = 1(t), x2 = 2(t),…, xn = n(t), де k(t) – неперервні функції на інтервалі (a; b) при k=1,…,n.
Означення: послідовністю xxk точок простору Rn називається правило, або закон, що ставить у відповідність натуральному числу k елемент xxk = (xk1,…, xkn) простору Rn і { xxk} = (xxk ) k1.
Теорема: збіжність послідовності в просторі Rn рівносильна збіжності по координатах. limk xxk = A xk1 a1
………
xkn an
Доведення: (xxk, aa) = ( xk1- a1)2+…+( xkn- an)2 ( xk1- a1)2 = | xk1- a1|
Доведемо необхідність: припустимо, що (xxk, aa)0, коли k (xxk, aa) | xk1- a1| 0, враховуючи, що (xxk, aa)0, маємо що |xk1- a1|0, коли k+ xk1 a1
Аналогічно для інших координат.
Достатність: якщо xk1 a1
………
xkn an обчислимо limk(xxk, aa) =
= limk+ ( xk1- a1)2+…+( xkn- an)2 =
= limk+( xk1- a1)2+…+ limk+( xkn- an)2 = 0.
Теорема Больцано-Вейерштрасса: з кожної обмеженої послідовності xxk Rn можна виділити збіжну підпослідовність.
Доведення: нехай послідовність xxk – обмежена тоді
(xxk,oo) = xk12+…+xkn2 xk12 = | xk1| (xk1) – обмежена константою C. Аналогічно для інших координат.
Застосуємо звичайну теорему Больцано-Вейерштрасса до кожної з послідовності координат.
Розглянемо випадок коли n=2 (xk, yk) |xk| C
|yk| C.
За теоремою Больцано-Вецерштрасса існує підпослідовність XKm, яка збігається до a1, коли m. Розглянемо послідовність других координат з тими ж індексами, тому так як |yk| C за теоремою існує YkMp a2 тоді візьмемо послідовність (XkMp, YkMp) (a1, a2) в загальному випадку послідовність просіємо n раз.
Білет 27.
Означення границі функції n - зміннихх в точці (Гейне,Коші) Властивості границі функції n – змінних .
Нескінченно малі функції n – змінних.
Означення границі функції n - зміннихх в точці (Гейне,Коші)
Нехай функція f(xx) Визначена в околі точки aa за винятком, можливо точки aa. Число L називаеться границею f(xx), якщо xxкaa f(xxk )L (Гейне)
ххк D(f).
(Коші ) >0 () xD(f) (xx, аа)< |f(x) - L|<
Властивості границі функції n – змінних.
1. Єдиність границі.
2. Обмеженість (якщо limf(xx)=aa та вона обмежена в околі цієї
точки).
3. Арифметичні властивості.
Якщо f(xx) L, g(xx) M при (ххаа); fg L M
fg LM; f/g L/M , M0. (xxaa).
4. Монотонність. Якщо в околі точки аа має місце нерівність f(xx)=g(xx); xO(aa) lim f(xx) lim (g(xx)) (xxaa)
6. Теорема про три функції : якщо в деякому проколотому околі точки aа виконується нерівність f(xх)g(xх)h(xх) та крайні функції f(x) i h(x) мають однакову границю L то і g(xх) має границю L.
Доведення (властивість 5) за означенням Гейне беремо xхкаa, тоді f(xк) g(хxк) h(хxк), де f(хxк)=bk, g(хxк)=ck , h(хxк)= dk , тоді коли bk і dk L за теоремою про три послідовності середня теж прямуе до L. СкL lim g(xx)=L (xxaa).
Нескінченно малі функції n – змінних (означення та властивості довести).
Функція n – змінних (х1,…,хn ) називається нескінченно малою при ххаа, якщо вона має границю 0. Lim (xx)=0. (xxaa)
Lim f(xx)=L f(xx)=L + (xx) (xxaa).
Білет 28.