- •Множини, способи їх задання. Дії над множинами. Означення раціонального числа. Ірраціональність 2. Означення дійсного числа. Аксіома неперервності множини дійсних чисел r.
- •Числові множини. Обмежені множини. Точна верхня і точна нижня грані. Теорема про існування точної верхньої грані.
- •Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.
- •Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.
- •Монотонні послідовності. Теореми про монотонність границі, про три послідовності.
- •Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності. Критерій Коші. Число e.
- •Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці. Границя limx0(sinx/X).
- •Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості. Нескінченно великі функції.
- •Неперервність функції в точці. Теореми про запас неперервних функцій, про композицію неперервних функцій. Точка розриву. Типи точок розриву.
- •Локальні властивості неперевних функцій.
- •1. Локальна обмеженість:
- •2. Стійкість знаку:
- •Властивості неперервних функцій на відрізку.
- •Монотонні функції. Обернена функція. Теорема про неперервність оберненої функції. Теорема Больцано.
- •Рівномірна неперервність функції на множині. Теорема Кантора.
- •Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.
- •Білет 17. Похідна оберненої функції, та функції заданої параметрично.
- •Диференційовність функції в точці. Зв’язок між диференційовностью та існуванням похідної. Диференціал функції. Властивості диференціала.
- •Теореми Ферма та Ролля.
- •Теореми Коші, Лагранжа про середне значення.
- •Перше правило Лопіталя. Друге – сформулювати. Означення невизначенностей. Порівняння росту.
- •Формула Тейлора.
- •Критерій монотонності функції. Означення локальних екстремумів. Необхідна умова локального екстремуму.
- •Перша та друга достатні умови локального екстремуму.
- •Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.
- •Простір Rn. Приклади множин в Rn. Послідовності в Rn. Теорема про збіжність послідовності в Rn. Теорема Больцано- Вейерштрасса в Rn.
- •Непервні функції n – зміннмх в точці (означення). Властивості неперервнмх функцій n – зміннмх (локальні, арифметичні, композиція - довести).
- •Замкнуті та відкриті множини в Rn. Компакти. Перша та друга теореми Вейєрштрасса про неперервні функції на компактах .
- •Частинні похідні. Диференційовність функції n – зміних. Геометричний зміст диференційовності функції двох змінних. Необхідна умова диференційовності функції n-зміних.
- •Достатня умова диференційовності функції n-зміних. Похідна складної функції.
- •Диференціал функції функції n-зміних.
- •Частинні похідні вищих порядків. Теорема про мішані похідні.
- •Диференціали вищіх порядків. Формула Тейлора. Локальна Формула Тейлора – Пеано.
- •Означення локальних екстремумів функції n- змінних. Необхідна умова локального екстремуму. Достатня умова локального екстремуму.
- •Функції задані неявно. Теорема про неявну функцію. Дотична і нормаль до поверхні, заданої неявно.
- •Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.
- •Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.
- •Теорема Безу. Основна теорема алгебри. Теорема про розклад полінома на множники над полем c.
- •Теорема про розклад полінома на множники над полем r.
- •Ріціональні функції. Теорема про розклад раціональної функції на елементарні дроби. Інтегрування елементарних функцій I та II типу на прикладі.
- •Лінійний простір. Базис, координати та вимірність простору. Теорема про заміну бізиса. Приклад: поворот системи координат.
- •Теорема про заміну базиса
- •Лінійні відображення. Властивості лінійних відображень. Побудова матриці лінійного відображення. Дія лінійного відображення на координати. Перетворення матриці при заміні базиса.
- •Власні числа і власні вектори лінійного оператора. Характеристичний полином лінійного оператора.
- •Діагоналізація матриці лінійного простора. Критерій діагоналізації. Достатня умова приведення матриці до діагонального виду.
- •Евклідові простори. Теорема про існування ортонормованого базиса евклідового простору. Властивості ортонормованих базисів.
- •Ортогональні матриці та їх властивості. Квадратичні форми: зведення до канонічного виду методом Лагранжа.
- •Квадратичні форми і зведення до канонічного виду методом ортогональних перетворень.
Перша та друга достатні умови локального екстремуму.
Теорема: Якщо функція f(x) неперервна в околі точки а і має похідну в усіх точках околу за вийнятком можливо самої точки а. І з кожного боку відточки а похідна зберігає знак, тоді якщо f(x)>0 при x<a і f(x)<0 при x>a тоді а - локальний максимум. Якщо f(x)<0 при x<a і f(x)>0 при x>a тоді а - локальний мінімум.
Доведення: розглянемо різницю f(x) - f(a) і застосуємо теорему Лагранжа f(x) - f(a) = f(c)(x-a), де c (x,a). Розглянемо перший випадок, припустимо, що x<a тоді:
(x-a)<a, f(c)>0 f(x) - f(a) = f(c)(x-a) <0 f(x)<f(a)
Припустимо, що x>a тоді (x-a)>0, f(c)<0 f(x) - f(a) = f(c)(x-a)<0 f(x)<f(a) х а f(x)<f(a) a - точка локального максимуму. Другий випадок - аналогічно.
1. x<a, (x-a)<0, f (c)<0 f(x) - f(a) = f(c)(x-a)>0 f(x)>f(a)
2. x>a, (x-a)>0, f (c)>0 f(x) - f(a) = f(c)(x-a)>0 f(x)>f(a)
х а f(x)>f(a) а - точка локального мінімуму.
Приклад:
f(x) = x3 - 12x + 1
f(x) = 3x2 - 12 = 0 x1=2, x2=-2
Y` . х = -2 - локальний максимум
+ (-2) - (2) + X х = 2 - локальний мінімум
Теорема: нехай функція f(x) - визначена в околі і має другу похідну в самій точці а, при чому перша похідна в точці а дорівнює 0, а друга похідна відмінна від 0, тоді, якщо друга похідна в точці а більше 0 то а - локальний мінімум, якщо f(a)<0, то а – точка локального максимуму.
Доведення: Оскільки функція має дві похідні в точці а, то до функції можна застосувати формулу Тейлора другого порядку:
f(x)=f(a) + f(a)(x-a)/1! + f(a)(x-a)2/2! + 0(x-a)2
0(x-a)2 =(x)(x-a)2, (x)0, (xa)
f(x) = f(a) + f(a)(x-a)2/2! + (x)(x-a)2 (f(a) = 0)
f(x) - f(a) = (f(a)/2!+(x))(x-a)2 = (f(a) + 2(x))(x-a)2/2
Оскільки (x)0 звідки 2(x)0 і у малому околі точки а доданок 2(x) на знак не впливає.
Отже знак f(a)>0 і f(a) + 2(x) - співпадає.
Нахай f(a) > 0, (x - a)2/2 > 0, f(a) + 2(x)>0 f(x) – f(a) > 0 х а f(x)>f(a) , точка а - локальний мінімум.
Якщо f(a)<0 f(x) - f(a) < 0, х а f(x)<f(a)
a - точка локального максимуму.
Приклад:
f(x) = x3 - 12x + 1
f(x) = 3x2 -12
f(x) = 6x f(-2) = -12 <0 x= -2 loc max
f (2) = 12 >0 x= 2 loc min
Білет 25.
Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.
Означення: функція f(x) – визначена в інтервалі (a; b), що має похідну в цьому інтервалі називається опуклою вгору (вниз) в інтервалі (a; b), якщо x0 (a; b) графік функції лежить нижче (вищще) графіку дотичної.
Означення: точка x0 називається точкою перегину графіка функції f(x), якщо зліва і справа від точки x0 функція має різні напрямки опуклості.
Теорема. Достатня умова опуклості функції:
Нехай функція f(x) визначена в інтервалі (a,b) і має в цьому інтервалі другу похідну. Тоді якщо f(x) <0 - то функція опукла вгору, якщо f(x) >0 то функція опукла вниз.
Доведення: нехай x0 - довільна точка інтервалу (a; b)
y = y0+f(x0)(x-x0) = f(x0) + f(x0)(x-x0) = Lx0(x)
f(x) - Lx0 = f(x) - f(x0) - f(x0)(x-x0) = f(c)(x-x0)/2!. Оскільки функція f(x) має похідну то для неї справедлива формула Тейлора (n=1)
f(x) = f(x0) + f(x0)(x-x0) + f(c)(x-x0)2/2!. Припустимо, що f(x)<0
f(c)<0 f(c)(x-x0)2/2! < 0 f(x)- Lx0(x) < 0 опукла вгору. Нехай f(x)>0 f(c) > 0 f(c)(x-x0)2/2! > 0 f(x) - Lx0(x) > 0 Опукла вниз.
Теорема. Необхідна умова точки перегину: якщо функція f(x) в точці перегину x0 має неперервну другу похідну то, ця похідна дорівнює 0.
Доведення: припустимо що f(x0) 0, наприклад f(x0) > 0, тоді оскільки друга похідна неперервна в точці x0 то за теоремою про стійкість знаку функція f(x) – зберігає знак в околі точці x0, за попередньою теоремою вона повинна бути опуклою до низу тому напрямок опуклості не змінюється.
Якщо f(x0) < 0 f(x) < 0 x O(x0) .
Отже залишився випадок f(x0) = 0.
Теорема. Достатня умова точки перегину: якщо функція f(x) має f(x) x O(x0), f(x0) = 0 і зліва і справа від точки x0 друга похідна має різні знаки. То x0 – точк перегину.
Доведення: якщо f(x) має вигляд (+ x0 ),
то при x<x0, f(x) > 0 , x>x0, f(x) < 0 .
якщо f(x) має вигляд ( x0 +),
то при x<x0, f(x) < 0 , x>x0, f(x) > 0 .
Подалі будуть позначення виду:
xx = x = ( x1, x2, … , xn )
yy = y = ( y1, y2, … , yn )
aa = a = ( a1, a2, … , an )
oo = o = ( o1, o2, … , on )
Білет 26.