Білет 1.

Множини, способи їх задання. Дії над множинами. Означення раціонального числа. Ірраціональність 2. Означення дійсного числа. Аксіома неперервності множини дійсних чисел r.

Множина є первісним математичним поняттям, що не визначається через більш прості математичні поняття.

Підмножиною в математиці розуміють довільну сукупність ( набір ), що утворюють новий математичний об’єкт. Об’єкти, що утворюють множину називають елементами множини, бути елементами (множини) первісне математичне поняття. Множина, що не має жодного елементу називається пустою або порожньою множиною.

Способи задання множин:

1. перелік елементів множин A={a₁, a₂, ... , a_n}

2. характеристичною властивістю множини A={x|P(x)} P(x) - властивість.

Множини вважаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів.

Включення множин: множина А включається в множину В, або елементом множини В, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В.  x  A  x  B  A  B

Об’єднання множин:об’єднанням множин А і В називається множина С, що складається з елементів, що належать принаймині одній з множин А і В. AB = С = {x| x  A  x  B}

Перетин множин: перетином множин А і В незивається множина С, що складається із спільних елементів множин А і В.

A  B = C = {x| x  A  x  B}

Різниця множин: різницею множин А і В називається множина С, що складається з тих елементів множини А, які не входять в множину В.

A\B = C = {x| x  A  x  B}

Універсальна множина: універсальною множиною називають множину всіх елементів, що розглядаються в данній задачі.

Доповненням до множини А називають всі елементи множини універсальноі множини, що невходять в множину А. A =A = U\A

Нескінченний десятковий дріб називається регулярним, якщо він немає в періоді 9. Прийнято розглядати регулярні десяткові дроби, не регулярні замінюють відповідними регулярними. Дійсним числом називається нескінченний регулярний десятковий дріб.

Теорема: не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2.

Доведення: припустимо, що таке число існує (m/n)² = 2, нехай r=m/n m,n  N - нескоротний дріб. Якщо це число можна вважати нескоротнім, то НСД(m,n) = 1 (m/n)² = 2 => m²/n² = 2  m² = 2n² оскільки права частина ділиться на 2 ліва теж ділиться на 2, це означає що m - парне m=2m₁, де m₁  N тоді (2m₁)² = 2n² => 4m₁² = 2n²  2m₁² = n² Оскільки ліва частина ділиться на 2, тоді n-парне n=2n₁  m/n = 2m₁/2n₁ таким чином коли дріб скорочується на 2 отже припущення невірне і такого числа не існує. 

Перерізом або розрізом множини називається пара множин A та B таких, що виконуються такі умови:

1. A та B.

2. R=AB.

3.  aA,  bB, a<b.

Властивість неперервності множини R.

Якщо пара множин A і B утворюють переріз множини R, то або множина A немає найбільшого значення, а B має мінімальний, або множина A має найбільший, а B – не має найменшого. Інших випадків бути неможе.

Білет 2.

Числові множини. Обмежені множини. Точна верхня і точна нижня грані. Теорема про існування точної верхньої грані.

Числовими множинами називаються підмножини множини дійсних чисел.

Числова множина А називається обмеженою зверху якщо існує таке число С, що для будь-яких x Є A, x=<C число С називають ВГ множини А. Мінімальна із усіх верхніх граней називається ТВГ і позначається Sup(A)=S

Множина А називається обмеженою знизу, якщо існує таке число d, що для будь-яких x Є A, x>=d, число d називають ТН. Максимальне із всіх нижніх граней називається ТНГ і позначається Inf(A)=t.

Теорема: Кожна не порожня обмежена зверху множина дійсних чисел має точну верхню грань. Кожна не порожня обмеженя знизу множина дійсних чисел має точну нижню грань.

Доведення: нехай M – не порожня обмежена зверху множина дійсних чисел. Побудуємо спеціальний переріз множини R. В множину B віднесемо всі числа, що обмежують M зверху B={ bR | b  x,  xM } Оскільки M обмежена зверху, то B. Тоді A=R\B ={ a  R |  x M, a < x }. Таким чином в A попали числа, які не попали в B.

За побудовою: A,B  та R=AB.

b  x  x  b, a < x  a < b таким чином пара множин утворює переріз. За ксіомою неперервності можливі два випадки:

1. A має найбільший елемент.

2. B має найменший елемент.

Доведемо, що A не може мати найбільшого елемента a A, a < x, xM, Візьмем a₁ таке щоб a < a₁ < x це можливо бо a₁=( a + x ) / 2.

a₁ A, a₁ > a, a₁ < x тому разом з кожним елементом a входить і більший a₁, отже множина A немає найбільшого елемента, отже перший випадок неможливий, а тоді множина B має найменший елемент і цей мінімальний елемент буде і ТВГ. 

Білет 3.