3.4. Формулировка аксиом Колмогорова.

Определение вероятности события

Для математического изучения закономерностей, присущих событиям, обладающим устойчивыми относительными частотами, нужна соответствующая теоретическая модель, которая, как и всякая другая система логических построений, опиралась бы на некоторые определённые принципы – аксиомы.

Поскольку вероятность события есть понятие статистическое, связанное с характером поведения относительных частот события при многократном повторении испытания, то к системе аксиом теории вероятностей мы приходим, идеализируя важнейшие свойства относительных частот.

Определение. Вероятностью Р(А) называется числовая функция, определённая на множестве всех событий, соответствующих данному испытанию, и обладающая следующими свойствами:

Аксиома 1 (границы вероятности).

. (4.1.1)

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1:

Р()=1. (4.1.2)

Аксиома 3 (аддитивность вероятности). Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

. (4.1.3)

Таким образом, вероятностью события в условиях определённого испытания называется число, удовлетворяющее трем аксиомам Колмогорова. Это число является той константой, около которой группируются устойчивые относительные частоты при многократном повторении испытания.

Теория вероятностей позволяет выражать вероятности одних событий через вероятности других (более простых). В связи с этим в каждой конкретной задаче приходится задавать вероятности некоторых исходных событий. Эти вероятности задаются либо теоретически с последующей проверкой теоретических выводов, либо определяются экспериментально путем исследования соответствующих относительных частот с учетом необходимой точности расчёта.

3.5. Следствия из аксиом

При доказательстве следствий из аксиом мы будем пользоваться следующими тождествами, которые встречались нам при изучении действий над событиями:

А=А, А+ =, (А+В)С=АС+ВС, .

Следствие 1. Если составляют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:

. (4.2.1)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

(4.2.5)

Следствие 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Следствие 4. Если ВА, т.е. В является частным случаем А (или В влечет за собой А), то

.

Рис.4.2.1 Рис.4.2.2 Рис.4.2.3

Следствие 5. Для произвольных случайных событий А и В

(4.2.9)

А=А=А(

(рис.4.2.2). Справа получена сумма несовместных событий, следовательно, по аксиоме 3

, ч.т.д.

Следствие 6. Теорема сложения для произвольных событий. Для любых событий А, В

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Р(АВ). (4.2.10)

Замечание. Если А и В несовместны, то получаем аксиому 3, т.к. в этом случае .

Тема: Схема равновозможных исходов

4.1. Вычисление вероятностей событий

по схеме равновозможных исходов

Как уже отмечалось, основным содержанием теории вероятностей как науки является определение вероятностей одних (более сложных) случайных событий по вероятностям других (более простых) исходных событий. Поэтому большое практическое значение имеют методы вычисления этих исходных вероятностей.

События называются равновозможными, если появление ни одного из них не является более предпочтительным (ожидаемым), чем появление любого другого. Для равновозможных исходов условия испытания обладают по отношению к ним известной симметрией. Последнее имеет место, например, при контроле качества массовой однородной продукции, проведении лотерей, жеребьевок, в азартных играх, и т.д.

Напомним, что исход называют благоприятствующим событию А, если событие А происходит при наступлении этого исхода. Событие А является множеством исходов, которые ему благоприятствуют: А= .. Например, при бросании игральной кости для события А – выпадения чётного числа очков – благоприятствующими являются исходы:  . Поэтому А= .

Теорема. (Классическая формула для вычисления вероятности).

Пусть производится некоторое испытание и е₁, е₂, …,е_n – все элементарные исходы этого испытания. Пусть эти исходы равновозможны и пусть т исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле:

, (4.3.1)

где n – число всех исходов, a m – число исходов, благоприятствующих событию А.

Доказательство.

а) б)

е1	е2	е3
		ет	ет+1	ет+2
				еп

Рис.4.3.1

А=е₁+е₂+…+е_m

Вычислим вероятность события А. События е₁, е₂, …,е_n являются попарно несовместными, следовательно, по аксиоме 3

.

Обозначим вероятность всех исходов буквой р (эти вероятности равны, т.к. исходы по условию равновозможны). Заметим, что вероятность р нам неизвестна. Тогда

Р(А)=mp (4.3.2)

С другой стороны, т.к. = е₁+е₂+…+е_п,

, т.е.

1=np. (4.3.3)

Поделив (4.3.2) на (4.3.3), получим:

т.е. искомую формулу (4.3.1).

Формулу (4.3.1) называют также классическим определением вероятности, так называемый равновероятный случай.

Пример 1. В лотерее 1000 билетов, из них 150 выигрышных. Наугад вынимается 1 билет. Чему равна вероятность выигрыша?

n=1000; m=150; p=m/n=150/1000=0,15.

Пример 2. В урне 5 белых и 6 черных шаров. Наугад извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?

n=5+6=11; m=5; p=5/11.

Пример 3. Монета бросается последовательно 3 раза. Найти вероятности выпадения ровно 0,1,2,3 гербов.

ггг, ггр, грг, грр, ргг, ргр, ррг, ррр; n=8; m₀=1; m₁=3; m₂=3; m₃=1. Тогда

Р(0)=1/8; P(1)=3/8; P(2)=3/8; P(3)=1/8.