3.2. Свойства относительной частоты

1.

Доказательство. Ясно, что событие А в серии из n испытаний не может появиться меньше 0 раз и больше n раз.

2. 

Доказательство. Невозможное событие никогда не появляется  его абсолютная частота =0. Достоверное событие появляется при каждом испытании  его абсолютная частота равна n.

k()=0 

3. Если А₁, А₂, …А_n попарно несовместны, то

(А₁+А₂+…+А_n)=(A₁)+(A₂)+…+(A_n).

Докажем для двух событий. Если А и В несовместны (рис.3.1.1), то нужно доказать, что (А+В)=(А)+(В). Действительно, событие А+В происходит тогда и только тогда, когда происходит либо А, либо В (а вместе они произойти не могут). Событие А происходит k(A) раз, событие В – k(В) раз. Событие А+В происходит k(A)+ k(В) раз, т.е. абсолютная частота события А+В

k(A+В)= k(A)+ k(В);

(А+В)= (А)+ (А), ч.т.д.

Рис.3.1.1

Пример. В урне белые, чёрные и красные шары. Вынимается по одному шару. Белый шар появился k раз, чёрный т раз. Событие «белый или чёрный шар» произошло k+т раз.

3.3. Статистическая устойчивость частот

При рассмотрении большого числа однотипных независимых случайных событий количество наступивших при этом событий подчиняется определенным закономерностям. Их изучение и является предметом теории вероятностей.

Пример 1. Если при игре в волейбол две команды хотят беспристрастно разыграть право первой подачи, то обычно подбрасывают монету. Поскольку шансы выпадения герба или решки одинаковы, то преимущество первой подачи достается одной из команд случайно и предсказать, какой из команд повезет, невозможно. Однако если эти две команды встречаются много раз и каждый раз при жеребьевке используется одна и та же монета, то примерно в половине случаев преимущество первой подачи получает одна команда, а в остальных играх – другая.

Пример 2. В различных партиях деталей одного производителя число бракованных деталей примерно одинаково.

Пример 3. Приведём результаты опытов по бросанию монеты, проделанных известными учеными.

№ серии i	Экспериментатор	Число бросаний Ni	Число выпадений герба ki	Отн. частота выпадений герба i
1	Ж.Бюффон	4040	2048	0,5080
2	К.Пирсон	12000	6019	0,5016
3	К.Пирсон	24000	12012	0,5005
4	В.И.Романовский	80640	39699	0,4923
5	В.Феллер	10000	4979	0,4979

Из таблицы видно, что относительная частота выпадений герба колеблется около числа 0,5. Закономерность, которая лежит в основе этого факта, называется статистической устойчивостью частот и состоит в следующем. Пусть имеется s серий независимых однотипных испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. Например, в таблице показано 5 серий испытаний по бросанию монеты. Обозначим через N_i число испытаний в серии с номером i и через k_i(A) – число тех испытаний этой серии, при которых произошло событие А. Число k_i(A) является абсолютной частотой события А в i-й серии испытаний. Оказывается, при больших численностях N₁, N₂, …, N_s относительные частоты близки друг к другу:

или

При этом чем больше числа испытаний N_i, тем меньше отличаются друг от друга относительные частоты _i. Числовая величина, около которой колеблются значения относительных частот _i, называется статистической вероятностью события А и обозначается Р(А).

Явление устойчивости относительных частот можно изобразить на графике, где по оси абсцисс отложены числа испытаний в серии или их логарифмы. Видно, что в примере 1 относительные частоты группируются около константы 0,5, которая называется статистической вероятностью события А – выпадения герба при бросании монеты (рис.3.2.1).

Пример 4. Ещё в XVIII веке было замечено, что среди обычной корреспонденции количество писем без адреса обладает определенной устойчивостью. Так, по данным русской почтовой статистики, на протяжении нескольких лет на каждый миллион писем приходилось 25-27 писем без адреса.